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Enchaînement d’opérations sur les nombres entiers et décimaux — 1re année du cycle secondaire collégial — pages 16–17
Manuel : AL MOUFID Mathématiques — 1re année du cycle secondaire collégial[cite: 3]
Chapitre : 01 / Enchaînement d’opérations sur les nombres entiers et décimaux[cite: 4]
Pages étudiées : 16–17[cite: 4]
1. Priorité des opérations
Lorsqu’une expression contient plusieurs opérations, on ne les effectue pas au hasard. Il faut respecter les priorités de calcul.
بعبارة مبسطة: وجود القوس يفرض البدء بما بداخله، ثم ننجز الضرب والقسمة، وبعد ذلك الجمع والطرح.
2. Entraînement : priorité des opérations
Exercice 1 — Calculer les nombres A, B et C suivants[cite: 4]
A = 36 + 24 − 52 + 3
B = 38,5 − 2,5 + 14,5 − 5
C = 4,8 + 6 − 2,6 − 1,2
Correction
A = 60 − 52 + 3 = 8 + 3 = 11
B = 36 + 14,5 − 5 = 50,5 − 5 = 45,5
C = 10,8 − 2,6 − 1,2 = 8,2 − 1,2 = 7
شرح: في غياب الضرب والقسمة والأقواس، ننجز العمليات بالترتيب من اليسار إلى اليمين.
Exercice 2 — Calculer les expressions suivantes[cite: 4]
A = 36 − (6 + 10) − 12
B = (43 − 6) − (5 + 23)
C = 19 + (12 − 8) + 6
Correction
A = 36 − 16 − 12 = 20 − 12 = 8
B = 37 − 28 = 9
C = 19 + 4 + 6 = 23 + 6 = 29
شرح: الأقواس دائماً لها الأولوية المطلقة.
Exercice 3 — Respecter les priorités des opérations[cite: 4]
A = 15 : 5 + 4 × 12
B = 19 + 12 × 5 − 24
C = 38 − 5 × 1,4 − 1
Correction
A = 3 + 48 = 51
B = 19 + 60 − 24 = 79 − 24 = 55
C = 38 − 7 − 1 = 31 − 1 = 30
Exercice 4 — Détailler toutes les étapes[cite: 4]
A = 23 × (12 − (4 + 3))
B = (28 − (8 + 4)) : 8
C = 38,3 − 5 × 2,5 + 7 × 4
Correction
A = 23 × (12 − 7) = 23 × 5 = 115
B = (28 − 12) : 8 = 16 : 8 = 2
C = 38,3 − 12,5 + 28 = 25,8 + 28 = 53,8
Exercice 5 — Effectuer les calculs en détaillant toutes les étapes[cite: 4]
A = 36 − 7 × 5 − 18 : 9
B = 74 − (9 − 7) + (8 − 3,5 × 2)
C = 14 × 8 − (15 − 8) × 3 + [(7 × 2) + 2] − 10
Correction
A = 36 − 35 − 2 = 1 − 2 = −1
B = 74 − 2 + (8 − 7) = 72 + 1 = 73
C = 112 − 7 × 3 + [14 + 2] − 10 = 112 − 21 + 16 − 10 = 91 + 16 − 10 = 97
Exercices 6 & 7 — Calculs avec crochets et parenthèses[cite: 4]
Ex 6, A = 11 − (0,25 × 4) × 4
A = 11 − 1 × 4 = 11 − 4 = 7
Ex 6, B = 1 + [3 × (6 − (5 × 1))]
B = 1 + [3 × (6 − 5)] = 1 + [3 × 1] = 1 + 3 = 4
Ex 6, C = [(1 + 3) × 6] − 3(3 × 8)
C = [4 × 6] − 3(24) = 24 − 72 = −48
Ex 6, D = (5 + 3,2) − (1 + 6,3)
D = 8,2 − 7,3 = 0,9
Exercice 7[cite: 4]
Mettre des parenthèses à l’endroit convenable pour que l’égalité soit correcte : 3 + 4 × 2 = 14[cite: 4]
(3 + 4) × 2 = 14
Exercices 8 & 9 — Problèmes[cite: 4]
Exercice 8 : Problème du billet de 50 DH[cite: 4]
Avec un billet de 50 DH, j’ai acheté trois stylos coûtant chacun 9,2 DH et un cahier coûtant 13,8 DH. Quels calculs permettent d’obtenir la somme que le vendeur doit me rendre ?[cite: 4]
50 − (3 × 9,2 + 13,8) = 50 − (27,6 + 13,8) = 50 − 41,4 = 8,6 DH
الفكرة هنا هي جمع ثمن المشتريات أولاً داخل قوسين، ثم طرح المجموع من 50 درهماً.
Exercice 9 : Aire et périmètre[cite: 4]
Calculer l’aire et le périmètre de la figure donnée dans le manuel[cite: 4].
Aire = 16 × 10 − 6 × 4 = 160 − 24 = 136 unités d'aire.
3. Conventions d’écriture — Simplification
Le manuel introduit ensuite des conventions permettant d’écrire certaines expressions plus simplement, notamment lorsque la multiplication comporte une lettre.
- 4 × x s’écrit 4x.
- 5,4 × a s’écrit 5,4a.
- a × 3 s’écrit 3a.
- a × (b + 4) s’écrit a(b + 4).
- 2 × π × R s’écrit 2πR.
Exercice 10[cite: 4]
1) Écrire plus simplement[cite: 4]
4 × x − 8 = 4x − 8
5,4 × a = 5,4a
(4 − x) × (3 + y) = (4 − x)(3 + y)
a × (b + 4) = a(b + 4)
a × 3 = 3a
2 × π × R = 2πR
2) Pourquoi dans l’écriture 2,57 × 4 ne peut-on pas supprimer le signe (×) ?[cite: 4]
Parce que les deux facteurs sont des nombres. Écrire « 2,574 » ne représenterait plus une multiplication : cela serait lu comme un seul nombre décimal. Le signe × est donc nécessaire pour distinguer clairement l’opération.
3) Deux des écritures suivantes sont des écritures simplifiées de 6 × a × 3 ; lesquelles ?[cite: 4]
Les deux écritures retenues sont 6 × 3a et 18a[cite: 4]. La seconde est la forme la plus simplifiée.
4. Distributivité (Exercices 11, 13, 14)[cite: 4]
La distributivité permet de transformer un produit portant sur une somme ou une différence.
a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b − c) = a × b − a × c
أي أن العدد المضروب في مجموع يوزع على الحدين، وكذلك في حالة الفرق.
Exercice 11 — Vrai ou faux[cite: 4]
- • 5 × (14 − 8) = 5 × 14 − 5 × 8 → Vrai[cite: 4]
- • 3,7 × (12 + 7) = 3,7 + 12 × 3,7 + 7 → Faux[cite: 4]
- • 26 × 4 + 4,5 × 26 = (4 + 4,5) × 26 → Vrai[cite: 4]
- • 5 + 5 × 6 = 5 × (1 + 6) → Vrai[cite: 4]
Exercice 13 — Utiliser l’égalité 25 × 43 = 1075[cite: 4]
25 × 44 = 25 × (43 + 1) = 1075 + 25 = 1100
26 × 43 = (25 + 1) × 43 = 1075 + 43 = 1118
25 × 143 = 25 × (100 + 43) = 2500 + 1075 = 3575
25 × 42 = 25 × (43 - 1) = 1075 - 25 = 1050
24 × 43 = (25 - 1) × 43 = 1075 - 43 = 1032
Exercice 14 — Aire d’un rectangle (de deux façons)[cite: 4]
Exprimer à l’aide de x, de deux façons différentes, l’aire du rectangle colorié en jaune[cite: 4].
Première écriture : A = 13(x − 3)
Deuxième écriture (en développant) : A = 13x − 39
5. Avec la calculatrice (Exercice 15)[cite: 4]
La calculatrice scientifique reconnaît la priorité des opérations et possède des parenthèses et une mémoire[cite: 4].
- M, M+, STO... permettent de mettre un nombre en mémoire[cite: 4].
- RM, MR, M out, RCL... permettent de rappeler la valeur placée en mémoire[cite: 4].
6. Mon bilan (Page 17)[cite: 4]
1) Pour calculer 25,5 − (3,5 + 12) × 7, on commence par effectuer :[cite: 4]
Réponse B : 3,5 + 12[cite: 4].
2) 49 − 15 + 24 − 24 est égal à :[cite: 4]
Réponse C : 34[cite: 4].
3) 75 + (14,3 − 6,5) × 4 − 21 : 5 vaut…[cite: 4]
75 + 7,8 × 4 − 4,2 = 75 + 31,2 - 4,2 = 102. (Réponse C)[cite: 4]
4) 4 × (6 + 5) = …[cite: 4]
Réponse B : 4 × 11[cite: 4].
5) 2 × 12 − 2 × 6,5 = …[cite: 4]
Réponse B : 2 × (12 − 6,5) = 11[cite: 4].
6) (2,3 + 2,7) : 4 = …[cite: 4]
Réponse B : 1,25[cite: 4].
7) 5 : (4 + 6) = …[cite: 4]
Réponse B : 1/2[cite: 4].
8) 24 : (10 − 4) + 5 × 28 − 16 est égal à :[cite: 4]
Réponse A : 128[cite: 4].
7. Synthèse du cours
À retenir :
- Les parenthèses sont effectuées en priorité.
- La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction.
- Lorsque deux additions ou soustractions successives ont le même niveau de priorité, on calcule de gauche à droite.
- Pour simplifier une écriture littérale, on peut supprimer le signe × lorsqu’une lettre ou une parenthèse suit le nombre.
- La distributivité permet de développer un produit portant sur une somme ou une différence.
8. Questions de révision et Exercices interactifs
التمارين التالية تفاعلية لتقوية المكتسبات التي رأيناها في الدرس. استعمل الأزرار للتحقق من إجاباتك[cite: 1, 5].
Révision interactive (QCM)
1 Dans l’expression 7 + 3 × 4, quelle opération effectue-t-on en premier ?
- A) L’addition 7 + 3
- B) La multiplication 3 × 4
- C) On effectue les deux simultanément
2 Quelle est la valeur de 36 − (6 + 10) − 12 ?
- A) 8
- B) 20
- C) 32
3 Calcul direct : 2,1 × [12 − (4 + 3)]
Exercice interactif — Calcul étape par étape
Priorité des opérationsCalculer : 50 − (3 × 9,2 + 13,8)
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