المفيد في الرياضيات الاولى اعدادي الصفحة 11: أسبقية العمليات الحسابية

Activités : priorités opératoires, parenthèses et distributivité

Dans cette leçon, nous allons découvrir trois idées essentielles : l'enchaînement des opérations, le calcul avec parenthèses et la distributivité. Les explications sont présentées en français, puis simplifiées en arabe pour faciliter la compréhension.

Activité 1 : Enchaînement d'opérations

Partie A — Deux méthodes, deux résultats

Énoncé : Pour calculer l'expression A = 280 + 4 × 7,50, Réda et Hamza ont proposé deux méthodes différentes.

Question a — Quelle opération Réda a-t-il effectuée en premier ? Est-elle juste ?

Réponse : Réda a effectué l'addition 280 + 4 en premier. Cette méthode n'est pas correcte, car la multiplication est prioritaire sur l'addition.

شرح بالعربية

قام رضا بالجمع أولاً: 280 + 4، وهذا خطأ لأن الضرب له الأولوية على الجمع. في التعبير 280 + 4 × 7,50 يجب أن نحسب 4 × 7,50 أولاً.

Question b — Quelle opération Réda a-t-il effectuée en second ? Est-elle juste ?

Réponse : Il a ensuite effectué la multiplication 284 × 7,50. Le calcul est correct en lui-même, mais il part d'une première étape incorrecte. Le résultat final est donc faux.

شرح بالعربية

في المرحلة الثانية قام رضا بالضرب، والعملية الحسابية نفسها صحيحة، لكن المشكلة أن الخطوة الأولى كانت خاطئة، ولذلك فالنتيجة النهائية خاطئة.

Question c — Quelle opération Hamza a-t-il effectuée en premier ? Est-elle juste ?

Réponse : Hamza a effectué la multiplication 4 × 7,50 = 30 en premier. Cette méthode est correcte.

شرح بالعربية

قام حمزة بالضرب أولاً: 4 × 7,50 = 30، وهذه هي الطريقة الصحيحة لأن الضرب له الأولوية على الجمع.

Question d — Quelle opération Hamza a-t-il effectuée en second ? Est-elle juste ?

Réponse : Il a ensuite effectué l'addition 280 + 30 = 310. Cette étape est correcte.

شرح بالعربية

بعد الانتهاء من الضرب، قام حمزة بالجمع: 280 + 30 = 310، وبالتالي فالنتيجة الصحيحة هي 310.

Question e — Pourquoi les deux élèves n'ont-ils pas trouvé le même résultat ?

Réponse : Ils n'ont pas respecté le même ordre de calcul. Réda a effectué l'addition avant la multiplication, alors que Hamza a effectué la multiplication avant l'addition.

شرح بالعربية

لم يحصل التلميذان على النتيجة نفسها لأنهما لم يتبعا الترتيب نفسه للعمليات. رضا بدأ بالجمع، بينما حمزة بدأ بالضرب.

Question f — Est-il possible qu'à la fois Réda et Hamza aient raison ?

Réponse : Non. Pour une même expression, il faut respecter les règles communes de calcul. Ici, la multiplication est prioritaire sur l'addition, donc la méthode de Hamza donne le résultat correct.

شرح بالعربية

لا يمكن أن تكون الطريقتان صحيحتين لهذه العبارة نفسها. توجد قواعد محددة لترتيب العمليات، وفي هذه الحالة يجب إنجاز الضرب قبل الجمع.

Partie B — Appliquons la règle

Consigne : Effectuer les opérations suivantes.

Explication en français

Pour 8,1 : 9 × 3, la division et la multiplication ont la même priorité. On calcule donc de gauche à droite : 8,1 : 9 = 0,9, puis 0,9 × 3 = 2,7.

الشرح بالعربية

عندما نجد الضرب والقسمة معًا، ولهما الأولوية نفسها، نحسب من اليسار إلى اليمين. إذن: 8,1 ÷ 9 = 0,9 ثم 0,9 × 3 = 2,7.

Activité 2 : Calcul avec parenthèses

Consigne : Calculer les expressions suivantes.

Solution détaillée — A

A = 391 − (4,6 + 28,04)

On commence par la parenthèse :

4,6 + 28,04 = 32,64

Donc :

A = 391 − 32,64 = 358,36

شرح بالعربية

نبدأ بما داخل القوس: 4,6 + 28,04 = 32,64، ثم: 391 − 32,64 = 358,36.

Solution détaillée — B

B = (245 + 32) − 67 + 48 : 6

245 + 32 = 277

48 : 6 = 8

Donc :

B = 277 − 67 + 8 = 210 + 8 = 218

شرح بالعربية

نحسب القوس أولاً: 245 + 32 = 277، ثم القسمة: 48 ÷ 6 = 8. بعد ذلك: 277 − 67 + 8 = 218.

Solution détaillée — C

C = (19 − 9,2) × 4 + 13,3 × (1,4 − 1)

19 − 9,2 = 9,8

1,4 − 1 = 0,4

Donc :

C = 9,8 × 4 + 13,3 × 0,4

C = 39,2 + 5,32 = 44,52

شرح بالعربية

نحسب القوسين أولاً: 19 − 9,2 = 9,8 و1,4 − 1 = 0,4. ثم نحسب الضربين: 9,8 × 4 = 39,2 و13,3 × 0,4 = 5,32. وأخيرًا: 39,2 + 5,32 = 44,52.

Solution détaillée — D

D = 19 − 9,2 × 4 + 13,3 × (1,4 − 1)

1,4 − 1 = 0,4

Les multiplications sont prioritaires :

9,2 × 4 = 36,8

13,3 × 0,4 = 5,32

Donc :

D = 19 − 36,8 + 5,32

D = −17,8 + 5,32 = −12,48

شرح بالعربية

نحسب القوس أولاً، ثم الضرب. نحصل على: 19 − 36,8 + 5,32، ثم: 19 − 36,8 = −17,8، وأخيرًا −17,8 + 5,32 = −12,48.

Activité 3 : La distributivité

a. Démontrer la distributivité

Énoncé : En exprimant de deux façons différentes l'aire du rectangle ACDF, montrer que :

k × (a + b) = k × a + k × b

Explication en français

Le grand rectangle a une hauteur k et une largeur totale a + b. Son aire peut être calculée directement :

Aire = k × (a + b)

Mais le rectangle est composé de deux rectangles. Le premier a pour aire k × a et le second a pour aire k × b. Donc :

Aire = k × a + k × b

Les deux expressions représentent la même aire, donc :

k × (a + b) = k × a + k × b

الشرح بالعربية

مساحة المستطيل الكبير تساوي الطول k مضروبًا في العرض الكلي a + b، أي k × (a + b).

ويمكن تقسيمه إلى مستطيلين: مساحة الأول k × a ومساحة الثاني k × b. لذلك تكون المساحة الكلية: k × a + k × b.

b. Distributivité avec une soustraction

Énoncé : En exprimant de deux façons différentes l'aire du rectangle GHKL, justifier que :

k × (a − b) = k × a − k × b

Explication en français

Si un grand rectangle de largeur a contient une partie de largeur b que l'on retire, la largeur restante est a − b. Son aire est donc k × (a − b).

On peut aussi calculer l'aire restante en faisant : aire du grand rectangle − aire de la partie retirée. Ainsi :

k × a − k × b

On obtient donc :

k × (a − b) = k × a − k × b

الشرح بالعربية

إذا كانت لدينا مساحة كبيرة عرضها a، وحذفنا منها جزءًا عرضه b، فإن العرض المتبقي هو a − b. إذن المساحة تساوي k × (a − b).

ويمكن أيضًا حسابها بطرح مساحة الجزء المحذوف من المساحة الكبيرة: k × a − k × b.

c. Transformer les expressions pour calculer mentalement

A = 79 × 15 + 79 × 5

On met 79 en facteur commun :

A = 79 × (15 + 5)

A = 79 × 20 = 1580

شرح بالعربية

العامل المشترك هو 79، لذلك نخرجه خارج القوس: 79 × (15 + 5) = 79 × 20 = 1580.

B = 5,8 × 109 − 5,8 × 9

On met 5,8 en facteur commun :

B = 5,8 × (109 − 9)

B = 5,8 × 100 = 580

شرح بالعربية

العامل المشترك هو 5,8، فنكتب: 5,8 × (109 − 9) = 5,8 × 100 = 580. وهكذا أصبح الحساب أسهل بكثير.

Exercices supplémentaires similaires

Ces exercices permettent de vérifier si tu as compris les mêmes méthodes. Les solutions sont placées après les questions.

بالعربية: هذه تمارين إضافية مشابهة للتأكد من فهم القواعد نفسها، والحلول تأتي بعد الأسئلة.

Exercice supplémentaire 1 — Priorités

Calcule :

• A = 25 + 6 × 3
• B = 40 − 18 : 3
• C = 7,2 : 2 × 5
• D = 12 + 5 × 1,4

Solution

A = 25 + 18 = 43

B = 40 − 6 = 34

C = 7,2 : 2 = 3,6 ; 3,6 × 5 = 18

D = 12 + 7 = 19

Exercice supplémentaire 2 — Parenthèses

Calcule :

• A = 150 − (25 + 15)
• B = (30 + 10) × 2
• C = (18 − 6) × 4
• D = 80 − (12,5 + 7,5)

Solution

A = 150 − 40 = 110

B = 40 × 2 = 80

C = 12 × 4 = 48

D = 80 − 20 = 60

Exercice supplémentaire 3 — Distributivité

Transforme puis calcule :

• A = 32 × 17 + 32 × 3
• B = 4,5 × 102 − 4,5 × 2

Solution

A = 32 × (17 + 3) = 32 × 20 = 640

B = 4,5 × (102 − 2) = 4,5 × 100 = 450

Exercice interactif : à toi de jouer !

Réponds aux questions, puis clique sur Corriger. Les explications détaillées apparaissent après la correction.

بالعربية: أجب عن الأسئلة ثم اضغط على Corriger / تصحيح. ستظهر لك نتيجة كل سؤال وشرح الحل بعد التصحيح.

Résumé à retenir / الخلاصة