حل تمارين الهندسة كاملة | الصفحتان 26 و27 | الأولى إعدادي مسار دولي

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الرياضيات 1AC
التعليمية
سبتمبر 25, 2026
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    Notions de géométrie : exercices 1 à 17 corrigés — 1ère année collège

    تمهيد: ننجز في هذا التطبيق تمارين الصفحتين 26 و27 من الفصل الثاني Notions de géométrie، مع الحفاظ على ترتيب الكتاب ومنهجية الإنشاء الهندسي. ستجد في كل تمرين المعطيات، الشكل، خطوات الإنشاء، ثم التحقق أو التبرير عندما يكون ذلك مطلوبًا.
    منهجية العمل: اقرأ المطلوب أولًا، حدّد نوع العنصر الهندسي، أنجز الرسم بدقة، ثم تحقق من شرط الانتماء أو التساوي أو التوازي أو التعامد أو المنتصف. في الرسوم التالية استُعمل SVG داخل المقال حتى تبقى الأشكال واضحة ومتجاوبة مع الشاشة.

    1. PLACER ET TRACER DES DROITES

    Exercice 1 — Droites, demi-droites et segments

    On considère les points E, F et G.

    1. Tracer en vert les droites (EF), (EG) et (FG).
    2. Marquer un point A sur (EF), un point B sur (EG) et un point C sur (FG).
    3. Tracer en rouge les demi-droites [EA), [BC) et [GA).
    4. Tracer en bleu les segments [AB], [BC] et [AC].
    E F G A B C (EF) (EG) (FG)

    Correction

    Les points sont placés de façon à respecter les conditions : A ∈ (EF), B ∈ (EG) et C ∈ (FG).

    La demi-droite [EA) a pour origine E et passe par A. La demi-droite [BC) a pour origine B et passe par C. La demi-droite [GA) a pour origine G et passe par A.

    Enfin, les segments [AB], [BC] et [AC] relient respectivement les couples de points indiqués.

    التوضيح: في هذا التمرين نتعلم التمييز بين ثلاثة عناصر هندسية: المستقيم يمتد في الاتجاهين دون نهاية، ونصف المستقيم له نقطة أصل واتجاه واحد، أما القطعة المستقيمة فلها طرفان محددان. لذلك نتحقق من موضع كل نقطة أولًا، ثم نرسم العنصر المطلوب انطلاقًا من المعطيات.

    Exercice 2 — Points d'intersection

    On considère la figure donnée. La droite (EF) coupe la droite (D) en A. La droite (EH) coupe la droite (FG) en B. Compléter la figure en traçant les points A et B.

    A B E F H G (D) (EF)

    Correction : placer A exactement à l'intersection de (EF) et (D), puis B à l'intersection de (EH) et (FG), conformément aux données de la figure.

    التوضيح: نقطة التقاطع هي النقطة المشتركة بين مستقيمين. لذلك نحدد النقطة A حيث يلتقي المستقيمان (EF) و(D)، ثم نحدد النقطة B حيث يلتقي المستقيمان (EH) و(FG). يجب أن توضع كل نقطة بالضبط على المستقيمين اللذين يحددانها.

    Exercice 3 — Appartenance à une droite, à un segment et à une demi-droite

    1. Tracer une droite (D).
    2. Placer R, C et A tels que R n'est pas un point de (D), C est un point de (D) et A est un point de (D).
    3. Placer un point B sur le segment [RA].
    4. Placer un point E de (D) tel que E est un point de la droite (AC) et E n'est pas un point de la demi-droite [AC).
    (D) R A C B E Sens de [AC)

    Correction et explication :

    • Comme A et C appartiennent à (D), la droite (AC) est exactement la même droite que (D).
    • La demi-droite [AC) a pour origine A et se dirige vers C (flèche verte sur le schéma).
    • Pour que E appartienne à (AC) mais pas à la demi-droite [AC), E doit être placé sur la prolongation de la droite, du côté opposé à C par rapport à A.
    التوضيح: بما أن A وC ينتميان إلى المستقيم (D)، فإن المستقيم (AC) هو نفسه (D). ونصف المستقيم [AC) يبدأ من A ويتجه نحو C؛ لذلك حتى تكون E على المستقيم (AC) ولكن لا تنتمي إلى [AC)، يجب وضعها في الجهة المقابلة لـ C بالنسبة إلى A. أما B فيجب أن تقع بين R وA لأنها تنتمي إلى القطعة [RA].

    Exercice 4 — Deux droites sécantes

    1) Reproduire la figure ci-contre. 2) Construire un point M de la droite (D) et un point N de la droite (Δ) tel que : OM = ON.

    O M N (D) (Δ)

    Construction : tracer un cercle de centre O et de rayon quelconque. Choisir M parmi ses intersections avec (D) et N parmi ses intersections avec (Δ). Alors OM = ON.

    التوضيح: نريد نقطتين M وN تحققان OM = ON. أسهل إنشاء هو رسم دائرة مركزها O بنصف قطر مناسب؛ أي نقطة على الدائرة تبعد المسافة نفسها عن O. نختار M من تقاطع الدائرة مع (D)، وN من تقاطعها مع (Δ)، فنحصل مباشرة على OM = ON.

    Exercice 5 — Construire une longueur

    1. Tracer un segment [EF] de 6 cm de longueur.
    2. Construire un point A tel que AE = 5 cm et AF = 7 cm.
    E F A 6 cm 5 cm 7 cm

    Construction : tracer (EF) = 6 cm. Tracer le cercle de centre E et de rayon 5 cm, puis le cercle de centre F et de rayon 7 cm. Une intersection des deux cercles donne A. On vérifie : AE = 5 cm et AF = 7 cm.

    التوضيح: نرسم أولًا القطعة [EF] بطول 6 cm. لكي تحقق النقطة A الشرط AE = 5 cm، نرسم دائرة مركزها E ونصف قطرها 5 cm. ولكي تحقق AF = 7 cm، نرسم دائرة مركزها F ونصف قطرها 7 cm. نقطة تقاطع الدائرتين تحقق الشرطين معًا.

    2. DROITES, SEGMENTS ET DEMI-DROITES

    Exercice 6 — Points non alignés et constructions

    Soit A, B et C trois points non alignés.

    1. Tracer le segment [AB].
    2. Tracer la demi-droite [AC).
    3. Tracer la droite (BC).
    4. Placer le milieu O du segment [AB].
    5. Placer un point I sur (BC) tel que I n'appartient pas à [BC].
    6. Placer un point J sur (AC) tel que C n'appartient pas à [AJ].
    A B C O I J (BC) [AC)

    Correction : O est choisi sur [AB] avec AO = OB. I est placé sur la droite (BC) mais à l'extérieur du segment [BC]. J est placé sur (AC), dans la partie opposée à C par rapport à A, afin que C n'appartienne pas à [AJ).

    التوضيح: النقاط A وB وC غير مستقيمة على استقامة واحدة. نرسم القطعة [AB]، ونصف المستقيم [AC)، والمستقيم (BC). ثم نضع O في منتصف [AB]، أي AO = OB. أما I فيكون على امتداد (BC) خارج القطعة [BC]، وJ على المستقيم (AC) في الجهة التي تجعل C لا ينتمي إلى القطعة [AJ].

    Exercice 7 — Appartenance

    La figure donne trois points alignés dans l'ordre A — B — C. Compléter par « est un point de » ou « n'est pas un point de ».

    ABC
    عبارة الكتابالتصحيح
    A … [BC]n'est pas un point de
    A … [BC)n'est pas un point de
    A … (BC)est un point de
    A … [AC]est un point de
    B … [CA)est un point de
    B … [AC)est un point de
    C … [AB]n'est pas un point de
    C … [BA)n'est pas un point de
    C … (AB)est un point de
    التوضيح: بما أن ترتيب النقاط هو A ثم B ثم C على نفس المستقيم، فإن B يقع بين A وC. لذلك A لا ينتمي إلى القطعة [BC] ولا إلى نصف المستقيم [BC)، لكنه ينتمي إلى المستقيم (BC). وبالمثل، C لا ينتمي إلى [AB] ولا إلى [BA)، لكنه ينتمي إلى (AB). أما B فينتمي إلى أنصاف المستقيمات التي تبدأ من A أو من C وتتجه نحوه.

    Exercice 8 — Deux droites sécantes

    Tracer deux droites (D) et (Δ) sécantes en O. Placer un point A appartenant à (D) et un point B appartenant à (Δ). Placer un point M tel que B appartienne à la demi-droite [MA).

    O A B M (D) (Δ)

    Correction : pour que B appartienne à [MA), les points M, A et B doivent être alignés et B doit se trouver dans la direction de la demi-droite issue de M passant par A. On choisit donc M sur la droite (AB), du côté opposé à B par rapport à A.

    التوضيح: بما أن (D) و(Δ) يتقاطعان في O، نضع A على (D) وB على (Δ). والشرط B ∈ [MA) يعني أن M وA وB يجب أن تكون على استقامة واحدة، وأن B تقع في اتجاه نصف المستقيم الذي يبدأ من M ويمر عبر A. لذلك نضع M في الجهة المقابلة لـ B بالنسبة إلى A.

    Exercice 9 — Segment et demi-droite

    Tracer une droite (D) et placer deux points A et B qui appartiennent à la droite (D). Placer un point N qui n'est pas sur la droite (D). Tracer un segment [MN] et la demi-droite [NJ) contenant M.

    A B N M J (D)

    Correction : le point N est hors de (D). On place M de façon à pouvoir tracer [MN], puis on choisit J sur la demi-droite issue de N contenant M. Ainsi M appartient à [NJ).

    ملاحظة: صياغة التمرين في الصورة لا تعطي موضع J قبل إنشاء نصف المستقيم؛ لذلك نختار J على نفس الاتجاه بعد M، بحيث تنتمي M إلى [NJ).
    التوضيح: النقطتان A وB تنتميان إلى المستقيم (D)، بينما N خارج هذا المستقيم. بعد رسم القطعة [MN]، يجب أن يكون M على نصف المستقيم [NJ)، أي أن N وM وJ تكون على استقامة واحدة، وتكون M في الاتجاه الذي يبدأ من N ويمر عبرها. لذلك نضع J بعد M على نفس الاتجاه.

    3. DEUX DROITES PARALLÈLES OU PERPENDICULAIRES

    Exercice 10 — Avec TICE

    Utiliser l'outil GeoGebra pour tracer les parallèles à la droite (Δ) passant par D et E.

    D E (Δ)

    Résultat : GeoGebra permet de construire une parallèle à (Δ) par D, puis une autre parallèle à (Δ) par E. Les deux droites construites sont donc parallèles entre elles.

    التوضيح: لإنشاء مستقيم موازٍ لـ(Δ) يمر من نقطة معينة، نحافظ على نفس اتجاه المستقيم (Δ) دون أن نسمح للمستقيم الجديد بقطعه. نطبق ذلك مرة من D ومرة من E، فنحصل على مستقيمين يوازيان (Δ)، وبالتالي يوازي أحدهما الآخر أيضًا.

    Exercice 11 — Parallèles aux côtés d'un triangle

    EFG est un triangle.

    1. Tracer la droite (D) parallèle à (FG) et passant par E.
    2. Tracer la droite (D') parallèle à (EF) passant par G.
    3. Tracer la droite (D'') parallèle à (EG) passant par F.
    F E G (D) (D') (D'')

    Correction : chaque droite est construite parallèlement au côté indiqué et passe par le sommet demandé.

    التوضيح: لكل مستقيم في هذا التمرين شرطين يجب احترامهما: أن يمر بالنقطة المحددة، وأن يكون موازيًا للضلع المحدد. لذلك يمر (D) من E ويوازي (FG)، ويمر (D') من G ويوازي (EF)، ويمر (D'') من F ويوازي (EG). يجب التحقق من الشرطين معًا في الشكل.

    Exercice 12 — Perpendiculaire par un point

    Tracer la perpendiculaire à la droite (AB) passant par C.

    C A B (d)

    Correction : on trace par C une droite formant un angle droit avec (AB). Donc (d) ⟂ (AB).

    التوضيح: المطلوب إنشاء مستقيم يمر بالنقطة C ويكون عموديًا على (AB). التعامد يعني أن المستقيمين يشكلان زاوية قائمة مقدارها 90°. لذلك نرسم المستقيم المار من C بحيث يقطع (AB) بزاوية قائمة، ثم نضع علامة الزاوية القائمة عند نقطة التقاطع.

    Exercice 13 — Parallèle et perpendiculaire

    1. Tracer une droite (D).
    2. Placer deux points A et B tels que A et B ne sont pas sur la droite (D).
    3. Tracer la parallèle (D') à la droite (D) passant par A.
    4. Tracer la droite (D'') passant par B et perpendiculaire à la droite (D).
    5. Que peut-on dire des droites (D') et (D'') ? Justifier.
    A B (D) (D') (D'')

    Justification : (D') est parallèle à (D), tandis que (D'') est perpendiculaire à (D). Or toute droite perpendiculaire à l'une de deux droites parallèles est perpendiculaire à l'autre. Donc :

    (D') ⟂ (D'')
    التوضيح: المستقيم (D') موازٍ للمستقيم (D)، بينما المستقيم (D'') عمودي على (D). وبما أن مستقيمين متوازيين لهما الاتجاه نفسه، فإن المستقيم العمودي على أحدهما يكون عموديًا على الآخر أيضًا. لذلك تكون العلاقة بين (D') و(D'') هي التعامد.

    4. MILIEU

    Exercice 14 — Construire et calculer un milieu

    1) Reproduire la figure sachant que AB = 8 cm et EF = 3 cm.

    2.a) Construire le milieu M de [AB].

    2.b) Calculer AM.

    3.a) Tracer le point G tel que F soit le milieu de [EG].

    3.b) Calculer EG.

    AMB EFG 8 cm3 cm

    2.b — Calcul :

    AM = AB ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 cm.

    3.b — Calcul : puisque F est le milieu de [EG], on a EF = FG = 3 cm. Donc :

    EG = EF + FG = 3 + 3 = 6 cm.

    AM = 4 cm    et    EG = 6 cm
    التوضيح: بما أن M منتصف [AB] وطول AB يساوي 8 cm، فإن القطعتين AM وMB متساويتان، وبالتالي AM = 8 ÷ 2 = 4 cm. وبما أن F منتصف [EG] وEF = 3 cm، فإن FG = 3 cm أيضًا، ومنه EG = 3 + 3 = 6 cm.

    Exercice 15 — Montrer qu'un point est un milieu

    1. Tracer un segment [AB] de longueur 12 cm.
    2. Placer sur ce segment le point M situé à 3 cm du point B.
    3. Placer le milieu N du segment [AB].
    4. Montrer que le point M est le milieu de [NB].
    ANMB 6 cm3 cm12 cm

    Calcul : N est le milieu de [AB], donc NB = 6 cm. Comme MB = 3 cm, on obtient :

    NM = NB − MB = 6 − 3 = 3 cm.

    On a donc NM = MB = 3 cm et M appartient à [NB]. Par définition, M est le milieu de [NB].

    التوضيح: طول AB هو 12 cm، وN منتصف [AB]، لذلك NB = 6 cm. وبما أن M يبعد 3 cm عن B، فإن NM = NB − MB = 6 − 3 = 3 cm. وهكذا NM = MB، والنقطة M تقع على [NB]، لذلك M هو منتصف [NB].

    Exercice 16 — Construire le point C

    A et B sont deux points. Placer le point C tel que B soit le milieu de [AC].

    ABC ABBC

    Construction : tracer la droite (AB). Avec le compas, reporter la longueur AB à partir de B, sur la demi-droite opposée à A. Le point obtenu est C.

    On a alors A, B, C alignés et AB = BC. Donc B est le milieu de [AC].

    التوضيح: لكي يكون B منتصف [AC] يجب أن تتحقق خاصيتان: أن تكون A وB وC على استقامة واحدة، وأن تكون المسافتان AB وBC متساويتين. لذلك نمد المستقيم من B في الجهة المقابلة لـA، ثم ننقل طول AB إلى الجهة الأخرى للحصول على C.

    Exercice 17 — Démontrer qu'un point est le milieu

    Sur une droite (Δ), placer les points M, N, P et Q tels que : MP = 5 cm ; PQ = 2 cm et Q n'appartient pas au segment [MP] ; PN = 2,5 cm et N est un point du segment [MP].

    2) Montrer que N est le milieu de [MP].

    M N P Q PN = 2,5 cm MP = 5 cm PQ = 2 cm

    Correction : N appartient à [MP] et MP = 5 cm, PN = 2,5 cm. Donc :

    MN = MP − PN = 5 − 2,5 = 2,5 cm.

    Ainsi MN = NP = 2,5 cm. Comme N appartient à [MP] et que MN = NP, alors :

    N est le milieu de [MP].
    التوضيح: نعلم أن N تنتمي إلى القطعة [MP] وأن MP = 5 cm وPN = 2.5 cm. إذن MN = MP − PN = 5 − 2.5 = 2.5 cm. وبذلك MN = NP، ومع انتماء N إلى [MP] نستنتج أن N هي منتصف [MP]. أما Q فوجودها خارج [MP] يحقق الشرط الإضافي المعطى في التمرين.

    Synthèse

    • المستقيم غير محدود، والقطعة لها طرفان، ونصف المستقيم له أصل واتجاه.
    • إذا كانت نقطة تنتمي إلى قطعة، فيجب أن تكون بين طرفيها.
    • منتصف قطعة هو نقطة تنتمي إلى القطعة وتقسمها إلى قطعتين متساويتين.
    • إذا كان مستقيمان عموديين على مستقيم واحد، فهما متوازيان.
    • إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن المستقيم العمودي على أحدهما يكون عموديًا على الآخر.

    Exercices interactifs — Révision

    Révision 1 — Milieu
    1. Si AB = 8 cm et M est le milieu de [AB], alors AM = cm.
    2. Si F est le milieu de [EG] et EF = 3 cm, alors EG = cm.
    Révision 2 — Parallèles et perpendiculaires
    1. Si (D') ∥ (D) et (D'') ⟂ (D), alors (D') (D'').
    2. Deux droites perpendiculaires forment un angle de °.
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