حل جميع تمارين الأعداد في الكتابة الكسرية مع شرح مفصل خطوة بخطوة – الأولى إعدادي مسار دولي (ص 36–39)
1ère Année Collège (1AC) — Pages 36 à 39
Chapitre 03 : Investissement — Approfondissement — Pages 36–39
Niveau : 1ère Année Collège (1AC) - Parcours International
Manuel : AL MOUFID en Mathématiques
Thèmes : Égalités de fractions | Comparaison | Critères de divisibilité | Problèmes ouverts | Challenges
طريقة العمل: نحافظ على نص التمرين باللغة الفرنسية، ثم نعرض خطوات الحل بوضوح، ونوضح بالعربية لماذا استعملنا كل خطوة، حتى لا يكون التصحيح مجرد نتيجة نهائية. تمت مراجعة الحسابات وإعادة التحقق من النتائج، مع التنبيه إلى المواضع التي تحتاج إلى تفسير خاص.
I. ÉGALITÉS — Page 36
Exercice 1
Énoncé : Compléter par le nombre qui convient :
8/3 = (8 × …)/(3 × …) = 16/6 ; 5/7 = (5 × …)/(7 × …) = 35/49 ; 11/12 = (11 × …)/(12 × …) = 121/… ; 7/… = (7 × …)/(… × 5) = …/40.
Correction :
8/3 = (8 × 2)/(3 × 2) = 16/6.
5/7 = (5 × 7)/(7 × 7) = 35/49.
11/12 = (11 × 11)/(12 × 11) = 121/132.
7/8 = (7 × 5)/(8 × 5) = 35/40.
في المثال الأول نريد تحويل المقام 3 إلى 6، أي نضرب في 2، ولذلك نضرب البسط أيضًا في 2: 8×2=16، فنحصل على 16/6.
وفي 5/7 أصبح المقام 49، أي 7×7، لذلك نضرب البسط 5 في 7 فنحصل على 35.
ونفس الفكرة في 11/12: بما أن 12×11=132، فإن 11×11=121، وبالتالي 11/12=121/132.
أما 7/8 فالمقام 40 ناتج عن 8×5، ولذلك البسط يصبح 7×5=35.
Exercice 2
Énoncé : Compléter les égalités suivantes :
56/72 = …/18 = 280/… = 21/… = …/270
45/60 = …/… = 15/… = 150/… = …/44
Correction :
56/72 = 7/9.
Donc : 56/72 = 14/18 = 280/360 = 21/27 = 210/270.
45/60 = 3/4.
Pour compléter toutes les cases : 45/60 = 9/12 = 15/20 = 150/200 = 33/44.
لدينا 56/72. بقسمة البسط والمقام على 8 نحصل على 7/9. للوصول إلى المقام 18 نضرب 7 و9 في 2، فنحصل على 14/18. وللوصول إلى البسط 280 نضرب في 40، فنحصل على 280/360. وللوصول إلى البسط 21 نضرب في 3، فنحصل على 21/27. وللوصول إلى المقام 270 نضرب في 30، فنحصل على 210/270.
وفي السلسلة الثانية: 45/60=3/4. إذا أردنا أولًا كسرًا بسيطًا مناسبًا مثل 9/12، نضرب 3/4 في 3. ثم 15/20 نحصل عليه بالضرب في 5، و150/200 بالضرب في 50، و33/44 بالضرب في 11. في كل مرة نضرب البسط والمقام في العدد نفسه، ولذلك تبقى قيمة الكسر دون تغيير.
Exercice 3
Énoncé : Compléter :
(2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9) / (18 × 24 × 28 × 30) = … / 2017
Correction :
On remarque que :
2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 18 × 24 × 28 × 30.
Le quotient vaut donc 1 :
1 = 2017/2017.
نكتب:
18 = 2×9، و24 = 3×8، و28 = 4×7، و30 = 5×6.
إذن:
18×24×28×30 = (2×9)(3×8)(4×7)(5×6).
وبتغيير ترتيب العوامل فقط يصبح هذا بالضبط:
2×3×4×5×6×7×8×9.
إذن البسط والمقام متساويان، ولذلك الكسر كله يساوي 1. وبعد ذلك نبحث عن العدد الذي يجعل الكسر ذو المقام 2017 مساويًا لـ1: وهو 2017 لأن 2017/2017=1.
لماذا قد تخطئ الآلة الحاسبة؟ إذا كتبت الضرب والقسمة دون أقواس، فقد تنفذ الآلة العمليات بالتتابع. اكتب البسط بين قوسين والمقام بين قوسين: (البسط)÷(المقام)، وستحصل على 1.
Exercice 4
Énoncé : Placer les points E, F, G, H et I tels que :
AE = 2/4 AB ; EF = 2/3 AB ; FG = 2/6 AB ; GH = 1/3 AB ; HI = 1/2 AB.
Correction :
AE = 1/2 AB, EF = 2/3 AB, FG = 1/3 AB, GH = 1/3 AB et HI = 1/2 AB.
En prenant AB comme unité, les abscisses successives sont :
E = 1/2 ; F = 1/2 + 2/3 = 7/6 ; G = 3/2 ; H = 11/6 ; I = 7/3.
Le point B se trouve entre E et F. L'ordre est donc :
A — E — B — F — G — H — I.
AE=2/4 AB=1/2 AB، إذن E يقع في منتصف المسافة بين A وB.
بعد E نضيف EF=2/3 AB، لذلك موضع F انطلاقًا من A هو 1/2+2/3=7/6؛ وهذا أكبر من 1، لذلك F يقع بعد B.
ثم نضيف FG=2/6=1/3، ثم GH=1/3، ثم HI=1/2. وهكذا نحصل بالتتابع على G=3/2، H=11/6، I=7/3 من A.
لذلك الترتيب الصحيح هو: A–E–B–F–G–H–I.
Exercice 5
Énoncé : On pose a = 0,272727… Montrer que a = 3/11.
Correction :
a = 0,272727…
100a = 27,272727…
100a − a = 27
99a = 27
a = 27/99 = 3/11.
a=0,272727…
إذن 100a=27,272727…
عند طرح المعادلتين تختفي الأرقام المتكررة تمامًا:
100a−a=27، أي 99a=27.
ومن ثم a=27/99، وبقسمة البسط والمقام على 9 نحصل على 3/11.
الفكرة العامة: في عدد دوري من رقمين نضرب في 100، ثم نطرح لإلغاء الجزء المتكرر.
Exercice 6
1) Vérifier que : 26/65 = 2/5.
On divise le numérateur et le dénominateur par 13 :
26/65 = (26 ÷ 13)/(65 ÷ 13) = 2/5.
2) Donner trois autres exemples de fractions telles que : ab/bc = a/c, où a, b et c sont des chiffres différents de 0.
Trois exemples corrects, différents de 26/65, sont :
- 16/64 = 1/4
- 19/95 = 1/5
- 49/98 = 1/2
في المثال 26/65 نجد أن 26=2×13 و65=5×13، ولذلك عند قسمة البسط والمقام على 13 نحصل على 2/5.
ولإعطاء أمثلة أخرى نبحث عن أعداد تحقق النمط نفسه: 16/64=1/4، و19/95=1/5، و49/98=1/2. في كل حالة نتحقق فعليًا بالاختزال، ولا نكتفي بملاحظة شكل الأرقام.
هذه الأمثلة الثلاثة هي الأمثلة الأخرى المناسبة لهذا النمط مع أرقام غير منعدمة ومختلفة.
Exercice 7
Énoncé : Trouver le chiffre a pour que :
4aaa / aaa8 = 4/8.
Correction :
4/8 = 1/2.
Si a = 9, on obtient :
4999/9998 = 1/2, car 9998 = 2 × 4999.
Donc a = 9.
نجرب a=9 فنحصل على 4999 و9998. نلاحظ أن 4999×2=9998، وبالتالي 4999/9998=1/2.
إذن a=9. بعد إيجاد القيمة يجب دائمًا إعادتها إلى التمرين للتحقق، وليس الاكتفاء بالتخمين.
Exercice 8
Énoncé : L'une des fractions suivantes n'est pas égale aux quatre autres. Laquelle ?
14/24 ; 168/288 ; 42/72 ; 49/84 ; 434/680.
Correction :
14/24 = 7/12.
168/288 = 7/12.
42/72 = 7/12.
49/84 = 7/12.
Mais 434/680 = 217/340 ≠ 7/12.
Réponse : 434/680.
14/24 بالقسمة على 2 تصبح 7/12، و168/288 بالقسمة على 24 تصبح 7/12، و42/72 بالقسمة على 6 تصبح 7/12، و49/84 بالقسمة على 7 تصبح 7/12.
أما 434/680 فنقسم على 2 فنحصل على 217/340، وهي ليست 7/12؛ لذلك هي الكسر المختلف.
إذن لا نحتاج إلى حساب قيم عشرية: الاختزال وحده يكشف الكسر المختلف.
Exercice 9
Énoncé : Recopier et compléter, chaque égalité pour qu'elle soit vraie, à l'aide des nombres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7. Attention ! chaque chiffre ne sert qu'une fois.
Les quatre égalités à compléter sont :
… / … = 140/100 ; … / … = 20/30 ; … / … = 0 ; … / … = 0.
Une complétion cohérente pour chaque égalité est :
7/5 = 140/100 ; 2/3 = 20/30 ; 0/1 = 0 ; 0/4 = 0.
وفي الثانية نختزل 20/30 بالقسمة على 10، فنحصل على 2/3؛ لذلك نضع 2 و3.
أما الكسر الذي يساوي صفرًا، فيجب أن يكون البسط صفرًا والمقام غير صفر. لذلك 0/1=0 و0/4=0 مثالان صحيحان.
تنبيه مهم: صياغة العبارة «كل رقم لا يستعمل إلا مرة واحدة» مع وجود مساويتين منفصلتين تساويان صفرًا تحتاج إلى فهمها على مستوى كل مساواة على حدة؛ لأن تحقيق الصفر في كلتا المساويتين يتطلب ظهور الرقم 0 في كل منهما. لذلك لا ينبغي تقديم هذه الفقرة على أنها استعمال للأرقام 0–7 مرة واحدة عبر التمرين كله.
Exercice 10
Énoncé : Compléter les égalités suivantes :
…/35 = 4/7 ; 20/36 = …/9 ; 72/108 = 28/… ; 11/… = 11000/500.
Correction :
…/35 = 4/7 ⟹ 20/35 = 4/7.
20/36 = …/9 ⟹ 20/36 = 5/9.
72/108 = 28/… ⟹ 72/108 = 2/3, donc le dénominateur manquant est 42.
11000/500 = 22, donc 11/… = 22 et le dénominateur vaut 0,5.
في …/35=4/7، نلاحظ أن 7×5=35، لذلك نضرب 4 في 5 فنحصل على 20: إذن 20/35=4/7.
وفي 20/36=…/9، نقسم 36 على 4 لنصل إلى 9، لذلك نقسم البسط 20 على 4 فنحصل على 5: إذن 20/36=5/9.
وفي 72/108=28/…، نختزل 72/108 بالقسمة على 36 فنحصل على 2/3. وبما أن 28=2×14، يجب أن يكون المقام 3×14=42.
أما المساواة الأخيرة، فنحسب 11000/500=22. لذلك نريد 11/x=22، أي 11=22x، ومنه x=11/22=1/2=0,5. ظهور العدد العشري هنا طبيعي؛ لأن السؤال يسمح بقيمة غير صحيحة للمقام.
Exercice 11
Énoncé : Recopier les deux listes puis relier les quotients égaux.
Correction :
- 21/14 ↔ 3/2
- 5/6 ↔ 20/24
- 52/28 ↔ 13/7
- 98/70 ↔ 7/5
- 63/28 ↔ 54/24
21/14=3/2، و20/24=5/6، و52/28=13/7، و98/70=7/5، و63/28=9/4 كما أن 54/24=9/4.
إذن كل كسر يُربط بالكسر الذي يصل إلى الشكل المبسط نفسه. هذه الطريقة أكثر أمانًا من تحويل جميع الكسور إلى أعداد عشرية.
Exercice 12
Énoncé : Observer la figure ci-dessous. Compléter les égalités : EF = … EM ; EM = … EH ; EF = … EG. Puis placer N tel que EN = 5/6 EM.
En comptant les intervalles de la figure : EF = 3 unités, EG = 5 unités, EH = 8 unités et EM = 12 unités.
Donc :
EF = 1/4 EM ; EM = 3/2 EH ; EF = 3/5 EG.
Pour N : EN = 5/6 EM = 5/6 × 12 = 10 unités. N se place donc entre H et M.
إذن EF/EM=3/12=1/4، وEM/EH=12/8=3/2، وEF/EG=3/5.
وللنقطة N نريد EN=5/6 EM. وبما أن EM=12 وحدة، فإن EN=5/6×12=10 وحدات.
إذن N تقع بعد H (الذي يبعد 8 وحدات) وقبل M (الذي يبعد 12 وحدة).
II. COMPARAISON — Page 37
Exercice 13
Énoncé : 1/7 du parcours est plat et le reste se compose d'une montée et d'une descente de longueurs égales.
1) Fraction de la portion qui n'est pas plate ?
2) Fraction de la portion qui est en montée ?
Correction :
Portion non plate = 1 − 1/7 = 6/7.
La montée et la descente ont la même longueur, donc chacune représente la moitié de 6/7 :
6/7 ÷ 2 = 3/7.
هذا الجزء المتبقي يتكون من صعود ونزول متساويين. عندما نقسم 6/7 إلى جزأين متساويين نقسم على 2، فنحصل على 6/14=3/7.
إذن الصعود يمثل 3/7 والنزول يمثل 3/7، ومجموعهما 6/7.
Exercice 14
Énoncé : Sans utiliser de calculatrice, prouver que tous ces quotients sont égaux :
22/24 ; 33/36 ; 7,7/8,4 ; 4,4/4,8 ; 11/12.
Correction :
22/24 = 11/12.
33/36 = 11/12.
7,7/8,4 = 77/84 = 11/12.
4,4/4,8 = 44/48 = 11/12.
Donc :
22/24 = 33/36 = 7,7/8,4 = 4,4/4,8 = 11/12.
22/24 بالقسمة على 2 تصبح 11/12، و33/36 بالقسمة على 3 تصبح 11/12.
أما 7,7/8,4 فنضرب البسط والمقام في 10 لإزالة الفاصلة: 77/84، ثم نقسم على 7 فنحصل على 11/12.
وبالطريقة نفسها 4,4/4,8=44/48=11/12. إذن جميع الكسور تساوي 11/12.
Exercice 15
Énoncé : Un carré d'aire 1 a été divisé en quatre rectangles identiques. On les a ensuite regroupés de 2 façons (voir les figures). Choisir le nombre égal à l'aire du « trou » : 1/2 ; 9/16 ; 16/25 ; 3/4 ; 1.
Chaque rectangle a pour dimensions 1 × 1/4. Le grand contour obtenu par regroupement est un carré de côté 5/4. Les quatre rectangles occupent ensemble une aire égale à 1, car ils proviennent du carré initial d'aire 1.
Aire du grand carré = (5/4)² = 25/16.
Aire du trou = 25/16 − 1 = 25/16 − 16/16 = 9/16.
بعد إعادة التجميع، المربع الخارجي طول ضلعه 5/4، لذلك مساحته (5/4)²=25/16.
والفراغ هو الجزء المتبقي داخل هذا المربع بعد وضع المستطيلات الأربعة، لذلك مساحته =25/16−1=25/16−16/16=9/16.
إذن الاختيار الصحيح هو 9/16. هذه الطريقة لا تعتمد على قياس الرسم، بل على المساحات الدقيقة.
Exercice 16
Énoncé : Recopier et compléter avec l'un des symboles : > ou = ou <.
a. 7/9 < 1 ; 9/7 > 1 ; 7/9 < 9/7.
b. 8 > 1/8 ; 8 = 32/4 ; 13/5 > 13/6.
c. 25/19 > 24/19 ; 12/60 = 8/40 ; 15/7 < 21/8.
إذا كان البسط أصغر من المقام فالكسر أصغر من 1، وإذا كان البسط أكبر فالكسر أكبر من 1؛ لذلك 7/9<1 و9/7>1.
عندما يكون العدد صحيحًا مثل 8 يمكن كتابته 8=32/4، لأن 32÷4=8.
وعندما يكون المقامان متساويين نقارن البسطين مباشرة، مثل 25/19>24/19.
أما 15/7 و21/8 فنستعمل الضرب التبادلي: 15×8=120 و21×7=147، وبالتالي 15/7<21/8.
Exercice 17 — Avec la calculatrice
Énoncé : Avec plusieurs modèles de calculatrices, comparer les valeurs affichées par les calculs de 33461/80782 et 13860/33461. Justifier, sans les calculer, que les produits en croix ne peuvent pas être égaux.
Valeurs décimales :
33461/80782 ≈ 0,414213562427
13860/33461 ≈ 0,414213562057
Les deux valeurs sont extrêmement proches, mais la première est légèrement plus grande.
Justification exacte : Comme les dénominateurs sont positifs, on peut comparer par produits en croix :
33461/80782 > 13860/33461 ⇔ 33461² > 80782 × 13860.
Or :
33461² − (80782 × 13860) = 1.
La différence est donc positive et égale à 1. Les produits en croix ne peuvent pas être égaux et le premier quotient est bien le plus grand.
قد تبدو القيمتان متساويتين إذا عرضت الآلة عددًا قليلاً من المنازل العشرية، لكن التقريب لا يكفي لإثبات التساوي أو الاختلاف في مثل هذه الحالة.
لذلك نعود إلى المقارنة الدقيقة بالضرب التبادلي. بما أن المقامات موجبة، نقارن 33461×33461 مع 80782×13860. والفرق بينهما يساوي 1 فقط، أي أن الجداء الأول أكبر، ومن ثم الكسر الأول أكبر.
هذا التمرين يعلمنا أن التقريب العشري وسيلة للملاحظة، أما البرهان الدقيق فيعتمد على المقارنة الجبرية.
III. APPROFONDISSEMENT — Page 38
Exercice 18
Énoncé : Parmi les fractions suivantes, lesquelles sont supérieures à 1 et lesquelles sont inférieures à 1 :
5/4 ; 3/7 ; 15/19 ; 24/25 ; 8/9 ; 12/12 ; 17/16.
Correction :
Supérieures à 1 : 5/4 et 17/16.
Égale à 1 : 12/12.
Inférieures à 1 : 3/7, 15/19, 24/25 et 8/9.
5>4 و17>16، إذن 5/4 و17/16 أكبر من 1. وفي 12/12 البسط يساوي المقام، لذلك الكسر يساوي 1.
أما 3<7 و15<19 و24<25 و8<9، لذلك هذه الكسور أصغر من 1.
هذه قاعدة سريعة جدًا ويجب استعمالها قبل التفكير في توحيد المقامات.
Exercice 19
1) Ranger les fractions suivantes dans l'ordre croissant :
12/16 ; 39/15 ; 1 ; 18/14 ; 15/4 ; 7/5 ; 14/5 ; 7/8.
Correction :
12/16 < 7/8 < 1 < 18/14 < 7/5 < 39/15 < 14/5 < 15/4.
2) Ranger les fractions suivantes dans l'ordre décroissant :
20/52 ; 15/26 ; 55/18 ; 13/24 ; 7/18 ; 1/18.
Correction :
55/18 > 15/26 > 13/24 > 7/18 > 20/52 > 1/18.
في المجموعة الأولى: 12/16=3/4، و7/8، ثم 1، ثم 18/14=9/7، و7/5، و39/15=13/5، و14/5، و15/4. وهكذا نحصل على: 3/4<7/8<1<9/7<7/5<13/5<14/5<15/4.
وفي المجموعة الثانية: 55/18 أكبر من 3، بينما 15/26 و13/24 و7/18 و20/52 و1/18 كلها أصغر من 1. ثم نحتاج إلى مقارنة القيم المتقاربة، فنجد 15/26>13/24>7/18>20/52>1/18.
المهم: لا نقارن البسطين وحدهما ولا المقامين وحدهما؛ المقارنة تكون بين قيمة الكسرين.
Exercice 20
1) Mettre au même dénominateur puis ranger par ordre croissant : 23/15 ; 17/30 ; 13/5 ; 7/6.
Avec le dénominateur 30 :
23/15 = 46/30 ; 17/30 = 17/30 ; 13/5 = 78/30 ; 7/6 = 35/30.
Donc :
17/30 < 7/6 < 23/15 < 13/5.
2) Mettre au même dénominateur puis ranger par ordre décroissant : 7/9 ; 47/4 ; 29/8 ; 5/27 ; 11/16 ; 2/3.
On obtient :
47/4 > 29/8 > 7/9 > 11/16 > 2/3 > 5/27.
في المجموعة الأولى، 30 مناسب لأنه يقبل القسمة على 15 و5 و6، فنحوّل الكسور إلى 46/30 و17/30 و78/30 و35/30، ثم نقارن البسطين فقط.
وبذلك يصبح الترتيب 17/30<35/30<46/30<78/30، أي 17/30<7/6<23/15<13/5.
والطريقة نفسها تُستعمل في المجموعة الثانية للوصول إلى الترتيب التنازلي.
Exercice 21
1) Recopier et compléter :
8/7 = 32/28 ; 3/4 = 24/32 ; 54/81 = 14/21.
2) Ranger dans l'ordre croissant : 3/4 ; 5/6 ; 7/9.
On a : 3/4 < 7/9 < 5/6.
8/7 للوصول إلى 32/28 نضرب في 4، و3/4 للوصول إلى 24/32 نضرب في 8، و54/81 تختزل بالقسمة على 27 إلى 2/3، كما أن 14/21=2/3.
وللترتيب نقارن 3/4 و7/9 و5/6. نوحد المقامات إلى 36: 27/36 و28/36 و30/36، فنحصل على 3/4<7/9<5/6.
Exercice 22 — Avec TICE
1) Fractions données : 11/42 ; 60/72 ; 21/49 ; 28/112.
On conjecture l'ordre :
60/72 > 21/49 > 11/42 > 28/112.
2) Après réduction au même dénominateur, on confirme le même ordre décroissant.
60/72=5/6، و21/49=3/7، و11/42 لا تختزل، و28/112=1/4.
بعد ذلك نقارن 5/6 و3/7 و11/42 و1/4. وبما أن 5/6 هو الأكبر ثم 3/7 ثم 11/42 ثم 1/4، نحصل على الترتيب التنازلي المطلوب.
Exercice 23
a. Compléter par un nombre entier qui convient :
2/3 < …/18 < 5/6.
2/3 = 12/18 et 5/6 = 15/18, donc :
12 < x < 15.
x = 13 ou x = 14.
b. 5/8 < …/16 < 3/4.
5/8 = 10/16 et 3/4 = 12/16, donc :
10 < x < 12.
x = 11.
وفي الجزء (b): 5/8=10/16 و3/4=12/16. العدد الصحيح الوحيد الواقع بين 10 و12 هو 11، لذلك x=11.
الفكرة هنا هي تحويل المسألة إلى سؤال بسيط عن عدد صحيح بين عددين.
Exercice 24
Énoncé : Ranger par ordre décroissant les quotients suivants :
0,3/0,31 ; 0,33/0,31 ; 0,3/0,32 ; 0,32/0,31 ; 0,32/0,32.
Correction :
On peut comparer les quotients par produits en croix, car tous les dénominateurs sont positifs.
0,33/0,31 > 0,32/0,31 car les dénominateurs sont identiques et 0,33 > 0,32.
0,32/0,31 > 0,32/0,32 car les numérateurs sont identiques et 0,31 < 0,32 : avec un même numérateur positif, le plus petit dénominateur donne le plus grand quotient.
0,32/0,32 = 1.
0,3/0,31 > 0,3/0,32 pour la même raison : 0,31 < 0,32.
Donc :
0,33/0,31 > 0,32/0,31 > 0,32/0,32 > 0,3/0,31 > 0,3/0,32.
عندما يكون المقام نفسه، الأكبر هو صاحب البسط الأكبر: لذلك 0,33/0,31 أكبر من 0,32/0,31.
وعندما يكون البسط نفسه، الأكبر هو صاحب المقام الأصغر: لذلك 0,32/0,31 أكبر من 0,32/0,32، وكذلك 0,3/0,31 أكبر من 0,3/0,32.
كما أن 0,32/0,32=1. بهذه الطريقة نحصل على الترتيب الصحيح دون الحاجة إلى قيم عشرية تقريبية.
Exercice 25
Énoncé : Ranger par ordre décroissant les fractions : 7/8 ; 8/7 ; 3/4.
Correction : 8/7 > 1, tandis que 7/8 et 3/4 sont inférieurs à 1, et 7/8 > 3/4.
8/7 > 7/8 > 3/4.
تبقى مقارنة 7/8 و3/4. نحول 3/4 إلى 6/8، وبما أن 7/8>6/8، فإن 7/8>3/4.
إذن الترتيب هو 8/7>7/8>3/4.
Exercice 26
Énoncé : Observer la figure ci-dessous. Compléter les égalités : EF = … EM ; EM = … EH ; EF = … EG. Puis placer N tel que EN = 5/6 EM.
Le segment est gradué en intervalles égaux. En comptant les intervalles :
EF = 3 unités ; EG = 5 unités ; EH = 8 unités ; EM = 12 unités.
Donc :
EF = 1/4 EM ; EM = 3/2 EH ; EF = 3/5 EG.
EN = 5/6 × 12 = 10 unités.
بعد عد الفواصل نجد EF=3 وحدات وEG=5 وEH=8 وEM=12. لذلك EF/EM=3/12=1/4، وEM/EH=12/8=3/2، وEF/EG=3/5.
أما EN=5/6 EM، وبما أن EM=12، فنحسب 12÷6=2 ثم 2×5=10. إذن N تقع عند التدريج 10، بين H وM.
IV. CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ — Pages 38
Exercice 27
Énoncé : On considère les nombres : 12525 ; 8930 ; 45008 ; 6354. Lesquels sont divisibles :
a. par 2 ? 8930 ; 45008 ; 6354.
b. par 3 ? 12525 ; 6354.
c. par 4 ? 45008.
d. par 5 ? 12525 ; 8930.
e. par 8 ? 45008.
f. par 9 ? 6354.
بالنسبة إلى 2 ننظر إلى رقم الآحاد: لذلك 8930 و45008 و6354 تقبل القسمة على 2.
بالنسبة إلى 3 و9 نجمع الأرقام: 12525 مجموع أرقامه 15 فيقبل 3 ولا يقبل 9، و6354 مجموع أرقامه 18 فيقبل 3 و9.
بالنسبة إلى 4 ننظر إلى آخر رقمين: 08 تقبل القسمة على 4، لذلك 45008 يقبلها. وبالنسبة إلى 5 يكفي أن ينتهي العدد بـ0 أو5. وبالنسبة إلى 8 نتحقق من آخر ثلاثة أرقام؛ 008=8، لذلك 45008 يقبل القسمة على 8.
Exercice 28
1) Déterminer un nombre multiple à la fois de 2, de 3 et de 5.
PPCM(2,3,5) = 30. Donc 30 convient.
2) Déterminer un nombre multiple à la fois de 3, de 4 et de 7.
PPCM(3,4,7) = 84. Donc 84 convient.
بالنسبة إلى 2 و3 و5، لأن 2 و3 و5 أولية فيما بينها، نضربها: 2×3×5=30، إذن 30 أول مضاعف مشترك مناسب.
وبالنسبة إلى 3 و4 و7، العدد 4 يحتاج عاملين، ومع 3 و7 نحصل على 3×4×7=84، لذلك 84 يقبل القسمة على الأعداد الثلاثة.
Exercice 29
1) Un nombre est-il divisible par 1 ? Oui.
2) Un nombre est-il divisible par lui-même ? Oui, pour tout nombre non nul.
3) Trois diviseurs de 25 : 1, 5, 25.
4) Trois diviseurs de 12 : 1, 2, 3.
كل عدد يقبل القسمة على 1 لأن n÷1=n. وكل عدد غير منعدم يقبل القسمة على نفسه لأن n÷n=1.
أما 25، فقواسِمه الموجبة هي 1 و5 و25، ولذلك يمكن إعطاء هذه الثلاثة. وبالنسبة إلى 12، من قواسمه 1 و2 و3، وهي ثلاثة أمثلة صحيحة.
V. PROBLÈMES OUVERTS — Page 39
Exercice 30
Énoncé : Dans une classe d'un collège, 2/3 des élèves jouent au hand, 3/5 jouent au foot et 8/15 pratiquent la natation.
Correction :
2/3 = 10/15 ; 3/5 = 9/15 ; 8/15 = 8/15.
Donc : 10/15 > 9/15 > 8/15.
1) Le sport le plus pratiqué : le handball.
2) Le sport le moins pratiqué : la natation.
2/3 نضربه في 5 فنحصل على 10/15، و3/5 نضربه في 3 فنحصل على 9/15، بينما 8/15 يبقى كما هو.
إذن 10/15>9/15>8/15، أي أن كرة اليد هي الأكثر، والسباحة هي الأقل.
Exercice 31
Énoncé : La famille d'Ahmed est constituée de huit personnes : Said (46 ans), Fatima (41 ans), Khalid (23 ans), Ahmed (21 ans), Ayoub (13 ans), Meriem (13 ans), Faycel (11 ans) et Othmane (6 ans). Dans cette famille, quelle est la proportion de : 1) filles ? 2) garçons ? 3) personnes majeures ? 4) filles majeures ? 5) garçons mineurs ?
Correction :
1) Filles : 2 sur 8 ⟹ 2/8 = 1/4.
2) Garçons : 6 sur 8 ⟹ 6/8 = 3/4.
3) Personnes majeures : Said, Fatima, Khalid et Ahmed, soit 4 sur 8 ⟹ 1/2.
4) Filles majeures : Fatima seulement ⟹ 1/8.
5) Garçons mineurs : Ayoub, Faycel et Othmane, soit 3 sur 8 ⟹ 3/8.
البنات: اثنتان، إذن 2/8=1/4. الأولاد: ستة، إذن 6/8=3/4.
البالغون هم من أعمارهم 18 سنة فأكثر: سعيد، فاطمة، خالد وأحمد، أي 4/8=1/2.
البنات البالغات: فاطمة فقط، أي 1/8. والأولاد القاصرون: أيوب وفيصل وعثمان، أي 3/8.
Exercice 32 — Recherche
Énoncé : À travers les âges, le dieu égyptien Horus est représenté avec une tête de faucon. Les Égyptiens utilisaient ses yeux pour indiquer les fractions de leur unité de capacité : la cornée valait 1/2, l'iris 1/4, le sourcil 1/8, la cornée gauche 1/16, la partie oblique 1/32 et la partie verticale 1/64. Rechercher sur internet ce qu'avaient de particulier les fractions égyptiennes.
Correction :
Les six fractions citées sont des fractions unitaires : leur numérateur est 1 et les dénominateurs sont des puissances successives de 2 :
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64.
Ces fractions sont traditionnellement associées aux six parties de l'Œil d'Horus et ont été utilisées comme subdivisions de l'unité de capacité appelée hekat/heqât. Les sources historiques sur les mathématiques égyptiennes montrent aussi que les Égyptiens utilisaient largement les fractions unitaires dans leurs calculs. L'association précise entre les signes de capacité et les parties de l'œil est toutefois une interprétation historique discutée.
وفي التمرين تظهر ستة كسور هي 1/2 و1/4 و1/8 و1/16 و1/32 و1/64، وهي مرتبطة تقليديًا بأجزاء عين حورس وبقياسات أجزاء من وحدة السعة المصرية المعروفة باسم hekat.
لكن عند تقديم هذه المعلومة في درس مدرسي من الأفضل التمييز بين ما هو موثق في تاريخ الرياضيات وما هو تفسير تاريخي للرموز؛ فالمصادر التاريخية لا تجعل كل تفاصيل الربط بين أجزاء العين والكسور محل اتفاق تام.
VI. CHALLENGES — Page 39
Exercice 33
Énoncé : Soit a, b et c des nombres fractionnaires tels que : b × c / a = 1 ; c × a / b = 2 ; a × b / c = 3. Calculer a² + b² + c².
Correction :
bc/a = 1 ⟹ a = bc.
ca/b = 2. En remplaçant a par bc :
c(bc)/b = c² = 2 ⟹ c² = 2.
ab/c = 3. En remplaçant a par bc :
b(bc)/c = b² = 3 ⟹ b² = 3.
Alors :
a² = b²c² = 3 × 2 = 6.
Donc :
a² + b² + c² = 6 + 3 + 2 = 11.
نعوض هذه النتيجة في المعادلة الثانية: ca/b=2 تصبح c×(bc)/b=c²=2، إذن c²=2.
وفي الثالثة: ab/c=3 تصبح b×(bc)/c=b²=3، إذن b²=3.
ثم a²=(bc)²=b²c²=3×2=6. وأخيرًا a²+b²+c²=6+3+2=11.
Exercice 34
Énoncé : Ahmed veut acheter un vase ayant la plus grande contenance possible. Le marchand lui propose : un vase vert de 4/3 L ; un vase blanc de 13/12 L ; un vase bleu de 5/4 L. Quel vase Ahmed va-t-il acheter ?
Correction :
4/3 = 16/12.
13/12 = 13/12.
5/4 = 15/12.
Donc :
4/3 > 5/4 > 13/12.
La plus grande contenance est celle du vase vert.
4/3=16/12 لأننا ضربنا في 4، و5/4=15/12 لأننا ضربنا في 3، بينما 13/12 يبقى كما هو.
إذن 16/12>15/12>13/12، وبالتالي أكبر سعة هي سعة الوعاء الأخضر: 4/3 لتر.
Exercice 35
Énoncé : Deux nombres strictement positifs p et q sont tels que 24% de p est égal à 42% de q. Calculer p/q.
Correction :
24% de p = 42% de q.
24p/100 = 42q/100.
24p = 42q.
p/q = 42/24 = 7/4.
بما أنهما متساويان، نحصل على 24p/100=42q/100. نضرب الطرفين في 100 فنحصل على 24p=42q.
نقسم على 24q (وهما موجبان حسب نص التمرين): p/q=42/24. وباختزال 42/24 بالقسمة على 6 نحصل على 7/4.
Exercice 36
Énoncé : Sur cette figure sont représentés le cercle de centre O et des diamètres [RS et [TU tels que OS = ST. Quelle fraction de l'aire du disque est grisée ?
OS est un rayon du cercle et OS = ST. Comme OT est aussi un rayon, on a :
OS = OT = ST.
Le triangle OST est donc équilatéral. Son angle au centre vaut 60°. De même, le triangle ORU est équilatéral.
Aire d'un triangle équilatéral de côté r :
√3/4 × r².
Les deux triangles grisés ont donc une aire totale :
2 × (√3/4 r²) = √3/2 r².
Aire du disque = πr².
La fraction grisée est donc :
(√3/2 r²)/(πr²) = √3/(2π).
نفس الفكرة تنطبق على المثلث ORU، لذلك المساحتان المظللتان هما مساحتا مثلثين متساويي الأضلاع طول ضلعهما r.
مساحة كل واحد = √3/4 r²، ومجموعهما = √3/2 r². أما مساحة الدائرة فهي πr².
إذن النسبة المطلوبة = (√3/2 r²)/(πr²)=√3/(2π). لاحظ أن r² يختزل، ولذلك لا نحتاج إلى معرفة قيمة نصف القطر.
Exercice 37
Énoncé : Chaque côté d'un grand triangle est divisé en trois segments de longueurs 1, 3 et 1 comme le montre la figure ci-contre. Quelle fraction du grand triangle est grisée ?
Chaque côté du grand triangle mesure :
1 + 3 + 1 = 5.
Le triangle grisé a chacun de ses côtés de longueur 3. Les deux triangles sont donc semblables.
Le rapport des longueurs est 3/5, donc le rapport des aires est :
(3/5)² = 9/25.
إذن نسبة الأطوال بين المثلث المظلل والكبير هي 3/5. عندما تكون الأشكال متشابهة، فإن نسبة المساحات لا تساوي 3/5، بل مربع نسبة الأطوال.
لذلك نسبة المساحة = (3/5)²=9/25. هذه هي النقطة الأساسية في التمرين: عند الانتقال من الأطوال إلى المساحات نربع النسبة.
VII. MON BILAN — Page 37
Correction du bilan
1) 7/9 est le quotient de 7 par 9 ⟹ A.
2) 5/11 = 20/44 ⟹ B.
3) 27/36 = 3/4 ⟹ A.
4) 23/19 > 17/19 ⟹ B.
5) 5/3 > 8/7, car 5 × 7 = 35 et 8 × 3 = 24 ⟹ B.
6) La figure contient 4 carrés colorés sur 10 ⟹ 4/10 ⟹ C.
7) 102/138 = 17/23 ⟹ C.
عند كل سؤال لا نعتمد على اختيار الجواب فقط؛ نتحقق من القاعدة التي تقود إليه. مثلًا 27/36 تختزل بالقسمة على 9 إلى 3/4، و23/19 أكبر من 17/19 لأن المقام واحد والبسط 23 أكبر من 17.
VIII. LANGUE ET MATHS — DNL
Passage du langage symbolique au langage naturel
1) (9 × 5 + 11) / 2 = 28.
Formulation : La moitié de la somme du produit de neuf par cinq et de onze est égale à vingt-huit.
2) Si (d') // (d) et (d'') // (d), alors (d') // (d'').
Formulation : Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
3) Si a ≠ 0, alors (a + 1)² ≠ a² + 1.
Formulation : Si un nombre est différent de zéro, alors le carré de la somme de ce nombre et de un n'est pas égal à la somme de son carré et de un.
مثلًا (9×5+11)/2 تعني: نأخذ أولًا مجموع حاصل ضرب 9 في 5 والعدد 11، ثم نقسم الناتج كله على 2. والهدف هو تعلم قراءة الرموز الرياضية كما نقرأ جملة عادية.
EXERCICES INTERACTIFS — AUTO-ÉVALUATION
اختبر فهمك: اكتب الإجابة المناسبة في كل خانة ثم اضغط على زر التصحيح للتحقق الفوري.
- للحصول على كسر مساوٍ، نضرب أو نقسم البسط والمقام في العدد نفسه غير المنعدم.
- لاختزال كسر، نبحث عن قاسم مشترك للبسط والمقام ونستمر حتى يصبح الكسر غير قابل للاختزال.
- لمقارنة كسرين لهما المقام نفسه، نقارن البسطين.
- لمقارنة كسرين بمقامين مختلفين، يمكن توحيد المقامات أو استعمال المقارنة مع 1 عندما تكون مناسبة.
- في المسائل الهندسية، يجب الانتباه إلى العلاقة بين الأطوال والمساحات: إذا كانت الأشكال متشابهة فإن نسبة المساحات تساوي مربع نسبة الأطوال.
التعليقات
تعليقات
إرسال تعليق