تطبيقات وتمارين في الهندسة مع التصحيح المفصل – السنة الأولى إعدادي

Exercice 18 — Perpendiculaires et parallèle

On considère un triangle EFG.

1. Tracer la droite (D₁) perpendiculaire à la droite (EF) passant par le point G.
2. Tracer la droite (D₂) perpendiculaire à la droite (FG) passant par le point E.
3. Tracer la droite (D₃) perpendiculaire à la droite (EG) passant par le point F.
4. Tracer la droite (D₄) passant par le point F et parallèle à la droite (EG).
5. Que peut-on dire des droites (D₃) et (D₄) ?

Correction : (D₃) est perpendiculaire à (EG), tandis que (D₄) est parallèle à (EG). Une droite perpendiculaire à une droite est perpendiculaire à toute droite parallèle à celle-ci. Donc (D₃) ⟂ (D₄).

Exercice 19 — Deux perpendiculaires

On considère la figure suivante.

1. Tracer la droite (Δ) passant par le point M et perpendiculaire à la droite (D).
2. Tracer la droite (D') passant par le point M et perpendiculaire à (Δ).
3. Que peut-on dire des droites (D) et (D') ?

Correction : (Δ) ⟂ (D) et (D') ⟂ (Δ). Donc (D') ∥ (D).

Exercice 20 — Construire une perpendiculaire, une parallèle et une sécante

On considère la figure suivante :

1. Placer un point B tel que les droites (AB) et (Δ) soient perpendiculaires.
2. Placer un point C tel que les droites (AC) et (Δ) soient parallèles.
3. Placer un point D pour que les droites (AD) et (Δ) soient sécantes sans être perpendiculaires.

Correction : B est choisi sur la perpendiculaire à (Δ) passant par A. C est choisi sur la parallèle à (Δ) passant par A. D est choisi de sorte que (AD) coupe (Δ) avec un angle différent de 90°.

Exercice 21 — Points alignés

E, F, G et H sont quatre points (voir figure).

1. Tracer le point I l'intersection des droites (EG) et (FH).
2. Montrer que les points I, E et G sont alignés.
3. Montrer que les points I, F et H sont alignés.

Correction : Par définition, I est le point d'intersection de (EG) et (FH). Donc I appartient à (EG) et I appartient à (FH). Ainsi I, E, G sont alignés et I, F, H sont alignés.

Exercice 22 — Appartenance

Observer la figure suivante :

1. Compléter avec « appartient à » ou « n'appartient pas à » :

   Énoncé	Réponse
   D … [AB]	n'appartient pas à
   D … (BC)	appartient à
   D … [CB]	n'appartient pas à
   F … [AB]	appartient à
   D … [BC)	appartient à
   A … (BC)	n'appartient pas à
   E … (AC)	n'appartient pas à
   F … [BA)	appartient à
   M … (BE)	n'appartient pas à

2. Citer trois points alignés.
3. Citer trois points non alignés.
4. Compléter : Les droites (CD) et (AB) sont sécantes en B.

Exercice 23 — Droite, demi-droite et segment

On considère la figure suivante :

1. Tracer en vert la droite (EK), en rouge la demi-droite [GI) et en bleu le segment [HJ].
2. Compléter par « est un point de » ou « n'est pas un point de » :

   Énoncé	Réponse
   F … [EG)	est un point de
   F … [IJ]	n'est pas un point de
   E … (FH)	est un point de
   I … (FK)	est un point de

3. Placer un point M tel que : M est un point de [GI) et M n'est pas un point de [GH].
4. Placer un point N tel que les points J, G et N soient alignés et N est un point de (IH).

Correction : F appartient à [EG), E appartient à (FH), I appartient à (FK), tandis que F n'appartient pas à [IJ]. On choisit M entre G et I sur la demi-droite [GI), hors de [GH]. Pour N, on prend l'intersection de la droite (JG) avec la droite (IH).

Exercice 24 — Milieux et parallèles

A, B, C et D sont quatre points non alignés.

1. Placer les points R, S et T milieux respectifs des segments [AB], [BC] et [CD].
2. Tracer les droites (RS) et (ST).
3. Tracer la droite (D₁) parallèle à (RS) passant par T.
4. Tracer la droite (D₂) parallèle à (ST) passant par R.
5. Que peut-on dire des droites (D₁) et (D₂) ?

Correction : Dans le triangle ABC, RS est parallèle à AC. Dans le triangle BCD, ST est parallèle à BD. Les droites (D₁) et (D₂) sont donc respectivement parallèles aux diagonales (AC) et (BD). Dans la configuration représentée, elles sont sécantes.

Exercice 25 — Trois perpendiculaires

A, B et C sont trois points non alignés.

1. a. Tracer la droite (D₁) perpendiculaire à (AB) passant par C.
2. b. Tracer la droite (D₂) perpendiculaire à (BC) passant par A.
3. c. Tracer la droite (D₃) perpendiculaire à (AC) passant par B.
4. d. Que peut-on dire des droites (D₁), (D₂) et (D₃) ? Justifier.

Correction : Les trois droites construites sont les hauteurs du triangle ABC. Elles sont concourantes en un même point, appelé orthocentre du triangle.

Exercice 26 — Construire avec des perpendicularités

Placer les points A, B, C, D et E tels que :

• A milieu de [BC]
• (AD) ⟂ (BC)
• (DE) ⟂ (AB)

Construction : A est placé au milieu de [BC]. On trace par A la perpendiculaire à (BC) et on choisit D sur cette droite. Puis on trace par D la perpendiculaire à (AB) et on choisit E sur cette dernière.

Exercice 27 — Milieu d'un segment

On considère la figure ci-dessous. À l'aide d'un compas, placer des points E et F sur la droite (D) tels que : IE = CA et IF = CA.

Réponse : I est le milieu du segment [EF], car E, I et F sont alignés et IE = IF.

Exercice 28 — Parallèles et démonstration

1. Reproduire la figure ci-dessous.
2. Tracer le triangle EGH.
3. Tracer la parallèle au côté (GH) passant par F ; cette droite coupe (D') en A.
4. Tracer la parallèle au côté (EH) passant par F. Cette droite coupe (D') en B.
5. a. Tracer les droites (EA) et (BG).
   b. Que peut-on dire des droites (EA) et (BG) ?

Correction : d'après la figure, F est le milieu de [EG], donc EF = FG. La parallèle à (GH) passant par F coupe (D') en A, et la parallèle à (EH) passant par F coupe (D') en B. La configuration permet de conclure que (EA) ∥ (BG).