الدليل الشامل لحل مسائل وتحديات الكسور (الصفحة 48 و49) - الأولى إعدادي

الدليل الشامل لحل مسائل وتحديات الكسور (الصفحة 48 و49) - الأولى إعدادي
الرياضيات 1AC
التعليمية
أكتوبر 01, 2026
جاري الحساب...

    الدليل الشامل لحلول تحديات ومسائل الكسور (الصفحتان 48 و 49)

    تمهيد

    في هذه المجموعة من التمارين سنطبق العمليات على الكسور والأعداد العشرية، مع التركيز على فهم المطلوب واختيار الطريقة المناسبة للحل. سنعالج كل تمرين بشكل مستقل، ونوضح خطوات الوصول إلى النتيجة بدل الاكتفاء بالجواب النهائي.

    التمرين 21: مقارنة العددين a وb

    Question 21 : Comparer les nombres a et b :

    a = 3 5 + 4 3 × 6 20    et    b = 5 2 + 3 4 - 1 6 × 1 4

    Calcul de a :

    a = 3 5 + 4 × 6 3 × 20
    a = 3 5 + 24 60 = 3 5 + 2 5 = 1

    Calcul de b :

    b = 5 2 + 3 4 - 1 24
    b = 60 24 + 18 24 - 1 24 = 77 24

    Conclusion : Comme 77 24 > 1, alors b > a.

    فهم المطلوب وطريقة الحل:

    المطلوب هو مقارنة العددين a وb. لذلك نحسب قيمة كل تعبير أولًا، مع احترام أولوية العمليات: الضرب قبل الجمع والطرح.

    في العدد a نحسب حاصل الضرب أولًا، فنحصل على 25 ثم نجمعه مع 35 لنجد أن a = 1.

    أما b فنحسب الضرب أولًا: 16 × 14 = 124. ثم نوحد المقامات فنجد أن 7724 أكبر من 1.

    إذن النتيجة النهائية هي: b > a.

    التمرين 22: حساب تعبيرات عددية

    Question 22 : a et b sont deux nombres tels que :

    a = 53    et    b = 76

    Calculer :

    M = 3 × a + 2 × b
    A = 8 × a × b
    T = (a - b) × (a + b)
    H = 32 × a - 17 × b

    Calcul de M :

    M = 3 × 53 + 2 × 76
    M = 5 + 73 = 223

    Calcul de A :

    A = 8 × 53 × 76 = 1409

    Calcul de T :

    T = ( 53 - 76 ) × ( 53 + 76 )
    T = 36 × 176 = 1712

    Calcul de H :

    H = 32 × 53 - 17 × 76
    H = 52 - 16 = 73

    Résultats : M = 223 ; A = 1409 ; T = 1712 ; H = 73.

    شرح خطوات الحل:

    نعوض في كل تعبير بالقيمتين المعطاتين: a = 5/3 وb = 7/6. ثم نطبق قواعد العمليات على الكسور مع احترام أولوية الضرب قبل الجمع والطرح.

    في التعبير T نحسب أولًا القوسين، ثم نضرب النتيجتين. أما في H فنحسب حاصل كل ضرب قبل إجراء عملية الطرح.

    التمرين 23: إتمام الجدول

    Question 23 : Compléter le tableau suivant :

    43 92 23 76 3
    b 13 32 59 28 14
    a + b 53 6 119 1712 134
    a - b 1 3 19 1112 114
    a × b 49 274 1027 724 34

    Exemple de calcul dans la troisième colonne :

    a + b = 23 + 59 = 69 + 59 = 119
    a - b = 23 - 59 = 19
    a × b = 23 × 59 = 1027

    شرح خطوات الحل:

    في هذا التمرين نطبق العمليات الثلاث: الجمع والطرح والضرب. في الجمع والطرح، عندما تكون المقامات مختلفة، نوحد المقامات أولًا. أما في الضرب فنضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ثم نختزل النتيجة إذا أمكن.

    التمرين 24: الحساب والاختزال

    Question 24 : Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible :

    a =

    a = 1 + 53 - 49
    a = 99 + 159 - 49 = 209

    b =

    b = 827 × 3615 × 1012
    b = 1627

    c =

    c = 54 - 13 × 215 + 445
    c = 54 - 245 + 445
    c = 54 + 245 = 233180

    d =

    d = 2415 × [ 23 - ( 115 - 2 ) ]
    \[ \frac{11}{5}-2=\frac{1}{5} \]
    d = 2415 × ( 23 - 15 )
    d = 85 × 715 = 5675

    e =

    e = ( 56 - 34 ) × ( 56 + 34 )
    e = 112 × 1912 = 19144

    Résultats : a = 209 ; b = 1627 ; c = 233180 ; d = 5675 ; e = 19144.

    شرح خطوات الحل:

    أهم قاعدة في هذا التمرين هي احترام ترتيب العمليات. في التعبيرات التي تحتوي على ضرب وجمع أو طرح، نحسب الضرب أولًا. وفي الجمع والطرح بين الكسور نوحد المقامات قبل إجراء العملية.

    بعد الوصول إلى النتيجة، نختزل الكسر كلما كان ذلك ممكنًا، لأن السؤال يطلب أبسط صورة ممكنة.

    التمرين 25: حساب جداء كسور متتالية

    Question 25 : Calculer en détaillant et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible.

    P = [ (1 - 12) × (1 - 13) × (1 - 14) × (1 - 15) × (1 - 16) × (1 - 17) × (1 - 18) ]

    On transforme chaque différence :

    1 - 12 = 12
    1 - 13 = 23
    1 - 14 = 34
    1 - 15 = 45
    1 - 16 = 56
    1 - 17 = 67
    1 - 18 = 78
    P = 12 × 23 × 34 × 45 × 56 × 67 × 78
    P = 18

    Conclusion : P = 1/8.

    فهم الفكرة:

    القوة الأساسية في هذا التمرين هي ملاحظة أن كل عامل يتحول إلى كسر بسطه يساوي المقام السابق له. لذلك تظهر عملية اختزال متتالية: 2 مع 2، ثم 3 مع 3، ثم 4 مع 4، وهكذا، ولا يبقى في النهاية إلا 1/8.

    التمرين 26: البرهنة باستعمال المعطيات

    Question 26 : a et b sont deux nombres décimaux tels que :

    4 × a + 5 × b = 24,5    et    a × b = 6,125

    Montrer que : 5 a + 4 b est un nombre entier.

    Étape 1 : Réduire au même dénominateur

    5 a + 4 b = 5b + 4a ab

    Étape 2 : Utiliser les données

    5b + 4a = 4a + 5b = 24,5
    ab = 6,125
    5 a + 4 b = 24,5 6,125 = 4

    Conclusion : 4 est un nombre entier. L'affirmation est donc démontrée.

    فهم المطلوب وطريقة الحل:

    لا نحتاج إلى إيجاد قيمة a وقيمة b كل واحدة على حدة. المطلوب هو إثبات أن تعبيرًا معينًا عدد صحيح.

    الفكرة هي توحيد مقام الكسرين. بعد ذلك يظهر في البسط التعبير 4a + 5b، وهو موجود مباشرة في المعطيات، بينما المقام هو ab، وهو أيضًا معطى.

    لذلك نعوض مباشرة ونحصل على 4، وهو عدد صحيح.

    التمرين 27: توزيع مبلغ حسب المردودية

    Question 27 : Un directeur d’entreprise décide de partager une somme d’argent entre ses quatre employés en fonction de leur rendement dans le travail.

    Ainsi, il donne 13 pour le premier employé, 15 pour le deuxième, 115 pour le troisième et 3000 DH pour le quatrième employé.

    1) Quelle fraction de la somme revient au quatrième employé ?

    13 + 15 + 115 = 515 + 315 + 115 = 915 = 35
    1 - 35 = 25

    Réponse : le quatrième employé reçoit 25 de la somme.

    2) Calculer de deux façons la somme totale partagée entre les quatre employés.

    Première méthode :

    3000 = 25 × S
    S = 3000 × 52 = 7500 DH

    Deuxième méthode :

    Premier : 7500 × 13 = 2500 DH
    Deuxième : 7500 × 15 = 1500 DH
    Troisième : 7500 × 115 = 500 DH
    2500 + 1500 + 500 + 3000 = 7500 DH

    Conclusion : la somme totale est 7500 DH.

    شرح خطوات الحل:

    نجمع أولًا حصص الموظفين الثلاثة الأوائل لمعرفة الجزء الذي تم توزيعه، ثم نطرح هذا الجزء من الواحد الصحيح للحصول على حصة الموظف الرابع.

    بعد أن عرفنا أن 3000 درهم تمثل 2/5 من المبلغ الكلي، يمكن إيجاد المبلغ الكامل بضرب 3000 في 5/2.

    الطريقة الثانية تتحقق من النتيجة: نحسب حصة كل موظف من 7500 درهم، ثم نجمع الحصص فنعود إلى المبلغ نفسه.

    التمرين 28: دراسة الشكل باستعمال TICE

    Question 28 : Observer la figure ci-contre :

    Données : AG = 6 cm et CG = a cm.

    1) Calculer les longueurs FG et BG en fonction de a.

    D'après les codages de la figure, les segments de la base sont de même longueur :

    BC = CD = DE = EF = FG

    Or :

    CG = CD + DE + EF + FG = a
    4FG = a
    FG = a 4

    De plus :

    BG = BC + CG
    BG = a 4 + a = 5a 4

    Donc :

    FG = a4    et    BG = 5a4

    2) Trouver la valeur de a sachant que :

    Aire(ABF) = 3 cm²

    La base du triangle ABF est BF. D'après les codages :

    BF = BC + CD + DE + EF = a

    La hauteur correspondante est AG = 6 cm. Donc :

    Aire(ABF) = BF × AG 2
    3 = a × 6 2
    3 = 3a
    a = 1 cm

    On en déduit :

    FG = 14 = 0,25 cm
    BG = 54 = 1,25 cm

    3) Conjecturer les valeurs de longueurs demandées en 1) et la valeur de a en 2) moyennant l'outil Geogebra via la fonction curseur.

    شرح خطوات الحل:

    نبدأ من العلامات الموجودة على الشكل. بما أن القطع المتساوية على القاعدة لها الطول نفسه، فإن القطعة CG تتكون من أربع قطع متساوية. لذلك يكون طول كل واحدة منها هو a/4.

    وبما أن BG يتكون من قطعة واحدة إضافية هي BC ثم القطعة CG، نحصل على: BG = 5a/4.

    في الجزء الثاني نستعمل قانون مساحة المثلث: المساحة = القاعدة × الارتفاع ÷ 2. وبما أن مساحة ABF هي 3 cm² والارتفاع AG يساوي 6 cm، نجد أن a = 1 cm.

    التمرين 29: التعبير بدلالة عدد واحد

    Question 29 : a, b et c sont des nombres décimaux tels que :

    a est le double de b et c est le triple de a.

    1) Exprimer a + b uniquement en fonction de b.

    a = 2b
    a + b = 2b + b = 3b

    a + b = 3b

    2) Exprimer a + c en fonction de a.

    c = 3a
    a + c = a + 3a = 4a

    a + c = 4a

    3) En déduire le quotient de a + b par a + c.

    a + b a + c = 3b 4a

    Or a = 2b, donc :

    3b 4a = 3b 8b = 3 8

    Conclusion : a + ba + c = 38.

    شرح خطوات الحل:

    كلمة double تعني الضعف، لذلك a = 2b. وكلمة triple تعني ثلاثة أمثال، لذلك c = 3a.

    نستعمل هذه العلاقات لتحويل كل تعبير إلى الشكل المطلوب، ثم نعوض العلاقة a = 2b في الكسر النهائي حتى تختزل الكمية المشتركة b.

    التمرين 30: نسبة السكان الذين يملكون سيارات

    Question 30 : Dans une résidence, 14 des locataires ont une seule voiture, 112 ont deux voitures et 124 des locataires ont plus de deux voitures.

    1) Quelle fraction des locataires a au moins une voiture ?

    14 + 112 + 124
    = 624 + 224 + 124 = 924 = 38

    Réponse : 38 des locataires ont au moins une voiture.

    2) Quelle fraction des locataires n'a pas de voiture ?

    1 - 38 = 58

    Réponse : 58 des locataires n'ont pas de voiture.

    فهم المطلوب:

    عبارة « au moins une voiture » تعني: سيارة واحدة أو سيارتان أو أكثر من سيارتين. لذلك نجمع الكسور الثلاثة.

    بعد معرفة نسبة من يملكون سيارة واحدة على الأقل، نحصل على نسبة من لا يملكون سيارة بطرحها من الواحد الصحيح.

    التمرين 31: إتمام الهرم العددي

    Question 31 : Compléter la pyramide suivante dans laquelle chaque nombre dans une case est la somme des deux nombres qui sont au-dessous.

    Données visibles dans la pyramide :

    Base : 13 ;   □  ; 16 ;   □
    Niveau supérieur : 12 ;   □  ; 14

    Première case manquante de la base :

    13 + x = 12
    x = 12 - 13 = 16

    Deuxième case manquante de la base :

    16 + y = 14
    y = 14 - 16 = 112

    Case centrale du niveau supérieur :

    16 + 16 = 13

    Niveau suivant :

    12 + 13 = 56
    13 + 14 = 712

    Sommet :

    56 + 712 = 1012 + 712 = 1712

    Sommet = 1712.

    طريقة الحل:

    قاعدة الهرم واضحة في السؤال: كل خانة تساوي مجموع الخانتين الموجودتين أسفلها. لذلك إذا كانت خانة علوية معلومة، يمكن استعمال عملية الطرح لإيجاد الخانة الناقصة.

    بعد إيجاد الخانات الناقصة في القاعدة، نتابع الصعود تدريجيًا. ومن المهم توحيد المقامات قبل جمع الكسور.

    التمرين 32: طول الخط المتعدد

    Question 32 : Dessiner un segment [AB] de longueur 15cm.

    Placer les points C et E en tenant compte des indications données par la figure.

    Construire le point D.

    Déterminer la longueur de la ligne polygonale ACDEB.

    Étape 1 : exploiter les codages de la figure

    Les indications de la figure permettent d'identifier les segments de même longueur. On obtient :

    AC = CE = EB

    Comme :

    AB = AC + CE + EB = 15 cm
    3AC = 15
    AC = CE = EB = 5 cm

    Le triangle CDE est construit suivant les codages de la figure, ce qui donne :

    CD = DE = CE = 5 cm

    Longueur de la ligne polygonale ACDEB :

    L = AC + CD + DE + EB
    L = 5 + 5 + 5 + 5
    L = 20 cm

    شرح خطوات الحل:

    هذا التمرين يعتمد على قراءة العلامات الموجودة في الشكل. بما أن القطع AC وCE وEB متساوية، فإن القطعة AB، التي طولها 15 cm، مقسمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية.

    إذن طول كل جزء هو: 15 ÷ 3 = 5 cm.

    وبالاعتماد على ترميز المثلث في الشكل، نجد كذلك أن CD وDE لهما الطول نفسه، أي 5 cm. لذلك يتكون المسار ACDEB من أربع قطع طول كل واحدة منها 5 cm.

    ومن ثم: 20 cm.

    التمرين 33: كمية الماء المتبقية

    Question 33 : Mériem a emporté une grande bouteille d'eau pour la journée.

    Dans la matinée, elle en a bu 13 et au repas de midi, les 25 du reste.

    Quelle fraction de la quantité d'eau de la bouteille lui reste-t-elle pour l'après-midi ?

    Étape 1 : quantité restante après la matinée

    1 - 13 = 23

    Étape 2 : quantité bue à midi

    25 × 23 = 415

    Étape 3 : quantité totale bue

    13 + 415 = 515 + 415 = 915 = 35

    Étape 4 : quantité restante

    1 - 35 = 25

    Réponse : 25 de la quantité initiale lui reste pour l'après-midi.

    فهم المطلوب:

    النقطة المهمة في هذا السؤال هي عبارة « les 2/5 du reste »، أي أن الكسر الثاني يحسب من الكمية المتبقية بعد الصباح، وليس من القنينة كاملة.

    لذلك نحسب أولًا الباقي بعد الصباح، ثم نحسب منه ما شربته مريم عند الغداء، وبعد ذلك نحدد ما بقي لفترة ما بعد الظهر.

    التمرين 34: ترتيب كميات العصير

    Question 34 : Un verre contient un sixième de litre de jus d'orange.

    Un autre verre contient un douzième de litre de jus de raisin.

    Un dernier verre contient deux quinzième de litre de jus de pomme.

    Ranger ces verres par ordre croissant selon le volume de liquide qu'ils contiennent.

    Mettons les fractions au même dénominateur :

    112 = 560
    215 = 860
    16 = 1060
    5 < 8 < 10

    Donc :

    112 < 215 < 16

    Verre de raisin < Verre de pomme < Verre d'orange.

    شرح خطوات الحل:

    لا يمكن مقارنة الكسور بسهولة عندما تكون مقاماتها مختلفة. لذلك نحولها إلى كسور لها المقام نفسه، وهنا اخترنا المقام 60.

    بعد ذلك تصبح المقارنة بين البسوط فقط: 5 < 8 < 10. ومن ثم نرتب أنواع العصير حسب الكمية من الأصغر إلى الأكبر.

    التمرين 35: توزيع التلاميذ على أنشطة الكسور

    Question 35 : Le professeur a réparti les élèves de sa classe en trois groupes d'activités sur les fractions.

    13 des élèves travaille sur l'addition, 29 des élèves sur la multiplication.

    1) Calculer la proportion d'élèves de la classe qui travaille sur la multiplication et l'addition.

    13 + 29 = 39 + 29 = 59

    La proportion travaillant sur la soustraction est donc :

    1 - 59 = 49

    2) 16 élèves travaillent sur la soustraction. Calculer le nombre d'élèves de la classe.

    49 × N = 16
    N = 16 × 94 = 36

    La classe compte 36 élèves.

    فهم المطلوب:

    نبدأ بجمع نسبة التلاميذ الذين يعملون على الجمع والضرب. بما أن القسم مقسم إلى ثلاثة أنشطة، فإن النسبة المتبقية تمثل نشاط الطرح.

    بما أن 4/9 من عدد التلاميذ يساوي 16، فإننا نضرب 16 في 9/4 لنحصل على العدد الكلي: 36 تلميذًا.

    التمرين 36: مقارنة a وb وc

    Question 36 : a, b et c sont des nombres fractionnels tels que :

    a + b = 1915    ;    b + c = 1720    et    a + c = 1112

    Comparer a, b et c.

    Comparaison de a et c :

    (a + b) - (b + c) = 1915 - 1720
    a - c = 7660 - 5160 = 2560 > 0
    a > c

    Comparaison de b et c :

    (a + b) - (a + c) = 1915 - 1112
    b - c = 7660 - 5560 = 2160 > 0
    b > c

    Comparaison de a et b :

    a - c = 2560 > 2160 = b - c
    a > b

    Conclusion : a > b > c.

    طريقة الحل:

    بدل محاولة إيجاد القيم الثلاث مباشرة، نستعمل المعادلات المعطاة بطريقة ذكية. عندما نطرح معادلتين، يختفي العدد المشترك.

    مثلًا، بطرح b + c من a + b يختفي b ونحصل على a - c. إذا كانت النتيجة موجبة، فهذا يعني أن a > c.

    بتكرار الفكرة نحصل في النهاية على الترتيب: a > b > c.

    التمرين 37: تفكيك الكسور

    Question 37 : x, y et z sont des nombres décimaux tels que :

    1 x + 1 + 2 y + 2 + 2022 z + 2022 = 1

    Calculer :

    x x + 1 + y y + 2 + z z + 2022

    On transforme chaque terme :

    x x + 1 = x + 1 - 1 x + 1 = 1 - 1 x + 1
    y y + 2 = 1 - 2 y + 2
    z z + 2022 = 1 - 2022 z + 2022

    On additionne :

    S = 3 - ( 1 x + 1 + 2 y + 2 + 2022 z + 2022 )

    Or l'expression entre parenthèses vaut 1.

    S = 3 - 1 = 2

    Conclusion : S = 2.

    فهم الحيلة:

    يبدو التعبير معقدًا، لكن المطلوب يخفي فكرة بسيطة. نكتب مثلًا: x = (x + 1) - 1. لذلك يصبح: x/(x+1) = 1 - 1/(x+1).

    نطبق الفكرة نفسها على الكسرين الآخرين. عند جمع الحدود الثلاثة، يظهر التعبير الموجود في معطيات السؤال، وقيمته تساوي 1. لذلك نحصل على: 3 - 1 = 2.

    التمرين 38: استخراج التعبير المطلوب من المعادلة

    Question 38 : Soit x un nombre fractionnel tel que :

    9x² - 36x + 35 = 0

    Calculer :

    x + 35 9x

    Étape 1 : transformer l'équation

    9x² - 36x + 35 = 0
    9x² + 35 = 36x

    Étape 2 : diviser par 9x

    9x² + 35 9x = 36x 9x
    x + 35 9x = 4

    Conclusion : x + 35 9x = 4.

    شرح خطوات الحل:

    لا نحتاج إلى حل المعادلة لإيجاد قيمة x. المطلوب موجود تقريبًا داخل المعادلة نفسها.

    ننقل الحد -36x إلى الطرف الآخر، فنحصل على: 9x² + 35 = 36x.

    ثم نقسم الطرفين على 9x. عندها يتحول الحد الأول إلى x، والحد الثاني إلى 35/(9x)، بينما يصبح الطرف الآخر مساويًا لـ4.

    وهكذا يظهر التعبير المطلوب مباشرة: 4.

    أهم ما يجب فهمه من هذه التمارين

    • احترام أولوية العمليات، خصوصًا الضرب قبل الجمع والطرح.
    • توحيد المقامات عند جمع الكسور أو طرحها.
    • اختزال الكسور للوصول إلى أبسط صورة ممكنة.
    • الانتباه إلى معنى العبارات مثل: «من الباقي».
    • استعمال المعطيات بذكاء بدل محاولة حساب كل مجهول بشكل منفصل.
    • في المقارنة بين الكسور يمكن توحيد المقامات ثم مقارنة البسوط.
    • في المسائل الجبرية، قد يكون من الأفضل تحويل المعادلة مباشرة إلى التعبير المطلوب بدل حلها كاملة.
    • في الأشكال الهندسية، يجب قراءة علامات التساوي في الرسم قبل إجراء الحسابات.

    الخلاصة

    الهدف من هذه المجموعة ليس حفظ النتائج، وإنما تعلم اختيار الطريقة المناسبة: توحيد المقامات، الاختزال، استعمال العلاقة بين الكميات، قراءة الترميز الهندسي، أو تحويل المعادلة للوصول مباشرة إلى التعبير المطلوب. عندما تفهم الفكرة، يصبح حل تمرين مشابه أسهل بكثير.

    شارك المقال:
    التعليمية

    التعليمية

    كاتب ومحرر في هذه المدونة يعشق تدوين كل ما هو جديد ومفيد.

    مقالات قد تعجبك

    التعليقات

    تعليقات

    إرسال تعليق