درس: المثلثات والواسطات | Je m'entraîne ص 56 و 57.

💡 التصحيح والتحليل (Explications)

• Exercice 1 :
  EF + FG > EG : النقط E وF وG ليست مستقيمية، ففي المثلث EFG مجموع طولي ضلعين أكبر من الضلع الثالث.
  FG < FO + OG : في المثلث FOG، النقطة O لا تنتمي إلى [FG]، فنطبق التفاوت المثلثي.
  FO + OH = FH : لأن O تنتمي إلى القطعة [FH].
  EH < OE + OH : بالتفاوت المثلثي في المثلث EOH.

  Explication détaillée : Dans tout triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours strictement supérieure à la longueur du troisième côté (Inégalité triangulaire). C'est pourquoi on a EF + FG > EG dans le triangle EFG, FG < FO + OG dans FOG, et EH < OE + OH dans EOH. En revanche, puisque les diagonales se coupent en O, le point O appartient au segment [FH], ce qui justifie l'égalité parfaite FO + OH = FH (les points F, O et H sont alignés).

• Exercice 2 :
  1) B ∉ [AC] : لأنه لو كانت B ∈ [AC] لكان AC = AB + BC، بينما لدينا AC < BC + AB.
  2) C ∈ [AB] : لأن AB = AC + CB، فتقع C بين A وB.
  3) C ∉ [AB] : لأن AC + CB > AB؛ لو كانت C ∈ [AB] لكان AC + CB = AB.
  4) A ∈ [BC] : لأن AB + AC = BC، فتقع A بين B وC.

  Explication détaillée : L'inégalité stricte (< ou >) prouve que les trois points forment un vrai triangle, donc le troisième point n'appartient jamais au segment formé par les deux autres. Par contre, l'égalité parfaite (=) démontre l'alignement des points. Le point qui se répète dans l'addition est celui qui appartient au segment formé par les deux autres points.

• Exercice 3 :
  EF + FG = 4 + 5 = 9 > EG = 7. إذن المثلث قابل للإنشاء (الضلع الأكبر EG = 7 أصغر من مجموع الضلعين الآخرين). نرسم [EG] بطول 7 cm، ثم قوسين: مركزهما E ونصف قطره 4 cm، ومركزهما G ونصف قطره 5 cm؛ نقطة تقاطعهما هي F.

  Explication détaillée : Pour vérifier si un triangle est constructible sans le dessiner, on isole le plus grand côté (ici EG = 7 cm). On additionne ensuite les deux autres côtés (4 + 5 = 9 cm). Puisque la somme (9) est strictement supérieure au plus grand côté (7), l'inégalité triangulaire est vérifiée. Le triangle est constructible au compas.

• Exercice 4 :
  المعطيات هي نفسها المكتوبة في الكتاب: EF = 4 cm, EG = 7 cm, FG = 5 cm. لذلك فالنتيجة نفسها: المثلث قابل للإنشاء.
  4 + 5 > 7، و4 + 7 > 5، و5 + 7 > 4.

  Explication détaillée : L'énoncé du livre répète exactement les mêmes données que l'exercice 3. La conclusion reste donc inchangée : le triangle vérifie l'inégalité triangulaire et est parfaitement constructible.

💡 التصحيح والتحليل (Explications)

• Exercice 5 :
  حسب التفاوت المثلثي: |7 - 4| < AC < 7 + 4.
  أي: 3 < AC < 11. وبما أن AC عدد صحيح، فالقيم الممكنة هي: 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10 cm.

  Explication détaillée : La règle stipule que la mesure d'un côté d'un triangle est toujours strictement comprise entre la différence et la somme des deux autres côtés. On calcule donc la différence (7 - 4 = 3) et la somme (7 + 4 = 11). Puisque l'énoncé précise que ce sont des nombres entiers, on dresse la liste des entiers compris entre 3 et 11 exclus.

• Exercice 6 :
  P_ABC = 1,5 + 2,5 + 2 = 6 cm.
  وبالنسبة إلى EFG: EF = 4,5 cm، FG = 7,5 cm، EG = 6 cm.
  الطريقة الأولى: 4,5 + 7,5 + 6 = 18 cm.
  الطريقة الثانية: P_EFG = 3 × P_ABC = 3 × 6 = 18 cm.

  Explication détaillée : Le périmètre est la somme des longueurs des côtés. Dans la première méthode, on calcule chaque nouveau côté en le multipliant par 3, puis on fait la somme. Dans la seconde méthode (plus astucieuse), on factorise : puisque tous les côtés sont multipliés par 3, le périmètre total est lui aussi exactement multiplié par 3.

• Exercice 7 :
  1) 12 < 8 + 6,9 = 14,9، إذن نعم، قابل للإنشاء.
  2) 1,1 + 1,5 = 2,6 < 3,6، إذن لا، غير قابل للإنشاء.
  3) 8,3 + 2,7 = 11، إذن مثلث مسطح / النقط مستقيمية.

  Explication détaillée : Pour chaque cas, on identifie le plus long côté et on le compare à la somme des deux autres. Dans le cas 2, la somme (2,6) est inférieure au grand côté (3,6), les arcs de compas ne se croiseront jamais. Dans le cas 3, il y a égalité parfaite, le triangle est donc "aplati" et les trois points sont alignés sur un même segment.

• Exercice 8 :
  نختزل الكسور ثم نوحد مقاماتها:
  MN = 12/16 = 3/4 = 9/12.
  NP = 42/36 = 7/6 = 14/12.
  ومنه: MN + NP = 9/12 + 14/12 = 23/12 = MP.
  إذن N تقع بين M وP، وبالتالي: M وN وP مستقيمية وN ∈ [MP].

  Explication détaillée : Pour démontrer géométriquement que des points sont alignés en utilisant des distances sous forme de fractions, il faut obligatoirement simplifier ces fractions puis les réduire au même dénominateur (ici le dénominateur commun est 12). En additionnant les deux petites distances, on retrouve exactement la valeur de la grande distance (MP). L'égalité prouve l'alignement.

💡 التصحيح والتحليل (Explications)

• Exercice 9 :
  المستقيم (Δ) عمودي على المستقيمين الأفقيين، والنقط المتناظرة بالنسبة إليه هي التي تبعد عنه مسافتين متساويتين: (A, B)، (F, G)، (E, H)، (D, I)، (C, J). إذن (Δ) هو واسط كل من: [AB]، [FG]، [EH]، [DI] و[CJ].
  ملاحظة: النقطة K ليس لها نظيرة، لذلك (Δ) ليس واسط [CK]، رغم أن (AB) // (CK).

  Explication détaillée : La droite (Δ) est perpendiculaire aux deux droites parallèles (AB) et (CK). De plus, elle passe exactement par le milieu de plusieurs segments formés par les points équidistants disposés de part et d'autre. Ainsi, (Δ) est la médiatrice des segments [AB], [FG], [EH], [DI] et [CJ].

• Exercice 10 :
  O مركز الدائرة (C) وE وF نقطتان منها، إذن OE = OF (نصفا قطر). النقطة O متساوية البعد عن E وF، فهي تنتمي إلى واسط [EF]، أي: O ∈ (D).
  ولهذا يمر واسط أي وتر في الدائرة من مركزها؛ في الشكل (D) عمودي على [EF] في منتصفه ويمر من O.

  Explication détaillée : Dans n'importe quel cercle, la médiatrice d'une corde passe toujours par le centre du cercle. Puisque (D) est la médiatrice de la corde [EF], le centre O du cercle est équidistant de E et F, et appartient donc obligatoirement à cette droite (D).

• Exercice 11 :
  من علامات الشكل: RM = RT وAM = AT و C منتصف [MT].
  R متساوية البعد عن M وT، إذن R ∈ واسط [MT]. وكذلك A متساوية البعد عن M وT، إذن A ∈ واسط [MT].
  C منتصف [MT]، فهي أيضًا تنتمي إلى واسط [MT].
  إذن النقط R وC وA كلها تنتمي إلى المستقيم نفسه (واسط [MT])، وبالتالي R وC وA نقاط مستقيمية.

  Explication détaillée : Les symboles de la figure montrent que RM = RT et AM = AT. Cela signifie que les points R et A sont équidistants des extrémités du segment [MT]. Ils appartiennent donc à la médiatrice de [MT]. Le point C étant le milieu de [MT], il appartient aussi à cette médiatrice. Par conséquent, les points R, C et A sont tous alignés sur cette même droite.

• Exercice 12 :
  نختار على الدائرة وترين غير متوازيين، ثم نرسم واسط كل وتر بالاعتماد على أقواس البركار. نقطة تقاطع الواسطين هي مركز الدائرة (كما هو موضح في الشكل أعلاه بألوان متطابقة بين الوتر وواسطه).

  Explication détaillée : Pour retrouver le centre d'un arc de cercle, la méthode consiste à tracer deux cordes distinctes (illustrées ici en rouge et en bleu). Ensuite, à l'aide d'un compas, on construit la médiatrice de chaque corde (représentées en pointillés avec les arcs de compas apparents). Le point d'intersection géométrique de ces deux médiatrices nous donne exactement le centre "O" de l'arc de cercle.

• Exercice 13 :
  بما أن O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC: OB = OC، إذن O تنتمي إلى واسط [BC]. وبما أن M منتصف [BC]، فإن M تنتمي أيضًا إلى واسط [BC].
  إذن (OM) هو واسط [BC] وبالتالي: (OM) ⟂ (BC).

  Explication détaillée : Le point O est le centre du cercle circonscrit, il est donc à égale distance de tous les sommets (donc OB = OC, ce sont des rayons). Cela signifie que O appartient à la médiatrice de [BC]. Le point M est donné comme étant le milieu de [BC], donc M appartient aussi à cette médiatrice. La droite (OM) est par conséquent la médiatrice du segment [BC], ce qui implique mathématiquement qu'elle est perpendiculaire à (BC).

💡 التصحيح والتحليل (Explications)

• Exercice 14 :
  في الشكل، (AI) عمودي على (ME) في I، إذن AMI وAIE مثلثان قائمان في I. مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف وتره:
  مركز دائرة AMI = منتصف [AM].
  مركز دائرة AIE = منتصف [AE].
  أما دائرة المثلث AME فمركزها نقطة تقاطع واسطي ضلعين من أضلاعه.

  Explication détaillée : Le triangle AMI est rectangle en I, son cercle circonscrit a donc pour centre le milieu de son hypoténuse [AM]. De la même façon, le triangle AIE est rectangle en I, le centre de son cercle est le milieu de son hypoténuse [AE]. Enfin, pour le grand triangle AME, son centre se trouve à l'intersection classique de ses médiatrices.

• Exercice 15 :
  إذا كانت الدائرة مركزها I وتمر بـE وF، فيجب أن IE = IF، إذن I تقع على واسط [EF].
  نرسم واسط [EF] ونحدد تقاطعه مع (Δ): هذه النقطة هي I. ثم نرسم الدائرة التي مركزها I ونصف قطرها IE.

  Explication détaillée : Si le cercle doit passer par les points E et F, son centre I doit obligatoirement être équidistant de E et de F (c'est-à-dire IE = IF). Le centre I appartient donc à la médiatrice du segment [EF]. Pour le trouver, il suffit de tracer cette médiatrice, et son point d'intersection avec la droite (Δ) nous donnera la position exacte du centre I.

• Exercice 16 :
  2) التوازي: (EF) هو واسط [OB]، إذن (EF) ⟂ (OB). و(Δ) هو واسط [ON]، إذن (Δ) ⟂ (ON). والنقط O وN وB مستقيمية. المستقيمان (Δ) و(EF) عموديان على المستقيم نفسه، وبالتالي: (Δ) // (EF).
  3) حساب BI: OB = 3 cm. N منتصف [OB]، إذن BN = NO = 1,5 cm. I منتصف [ON]، إذن NI = 0,75 cm. إذن: BI = BN + NI = 1,5 + 0,75 = 2,25 cm.
  4) إثبات PE = PF: OE = OF = 3 cm إذن O تنتمي إلى واسط [EF]. (OB) عمودي على (EF) ويمر من O، إذن (OB) = واسط [EF]. بما أن P ∈ (OB)، فإن P تنتمي إلى واسط [EF]، وبالتالي: PE = PF.

  Explication détaillée : 2) Les droites (EF) et (Δ) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite (OB), elles sont donc parallèles. 3) Le rayon OB est de 3 cm. N est le milieu de [OB] (1,5 cm) et I est le milieu de [ON] (0,75 cm). La distance totale BI s'obtient par l'addition: BI = BN + NI = 1,5 + 0,75 = 2,25 cm. 4) Le point P est sur l'axe de symétrie (OB) qui s'avère être la médiatrice de [EF]. Puisque tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités du segment, on a nécessairement PE = PF.

• Exercice 17 :
  E تنتمي إلى واسط [AB] وإلى واسط [BC]: EA = EB وEB = EC، إذن EA = EC، أي E ∈ واسط [AC].
  F تنتمي إلى واسط [CD] وإلى واسط [DA]: FC = FD وFD = FA، إذن FC = FA، أي F ∈ واسط [AC].
  النقطتان E وF تنتميان معًا إلى واسط [AC]، وبالتالي: (EF) هو واسط [AC].

  Explication détaillée : Le point E, en tant qu'intersection des médiatrices de [AB] et [BC], est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, ce qui signifie qu'il est équidistant de A et C. De même, F est le centre du cercle circonscrit au triangle ADC et est donc aussi équidistant de A et C. Puisque les deux points E et F sont équidistants des extrémités du segment [AC], la droite (EF) qui les relie est la médiatrice de [AC].

• Exercice 18 :
  نرسم [AB] بطول 6 cm. لإنشاء الرأس الثالث نرسم قوسًا مركزه A ونصف قطره 5 cm وقوسًا مركزه B ونصف قطره 3 cm. نحصل على 4 مثلثات (اثنان فوق القطعة واثنان تحتها).
  الدوائر المحيطة بهذه المثلثات تمر جميعها من A وB، فمراكزها متساوية البعد عن A وB، أي تقع على واسط [AB].
  التخمين: مراكز الدوائر المحيطة لهذه المثلثات تقع على واسط القطعة [AB].

  Explication détaillée : En traçant le segment [AB] de 6 cm, on trouve quatre configurations possibles pour les triangles ayant des côtés de 5 cm et 3 cm (placés symétriquement de part et d'autre de la droite AB). Puisque ces triangles partagent le segment de base [AB], les cercles circonscrits à ces triangles passeront forcément par A et B. Leurs centres respectifs seront donc équidistants de A et B, et se situeront obligatoirement sur la médiatrice du segment commun [AB].

• Exercice 19 :
  المقياس 1 : 100 000 يعني أن 1 cm على الخريطة يمثل 1 km في الواقع. نرسم: AB = 8 cm، BC = 7 cm، AC = 10 cm.
  بما أن F يجب أن تكون متساوية البعد عن A وB وC، فهي مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.

  Explication détaillée : L'échelle 1:100 000 signifie très simplement que 1 km sur le terrain est représenté par 1 cm sur le papier. On trace donc un triangle avec des côtés de 8 cm, 7 cm et 10 cm. Le forage doit être situé à égale distance des trois villages, il correspond donc mathématiquement au centre du cercle circonscrit au triangle. On le positionne en traçant l'intersection des médiatrices.

• Exercice 20 :
  المثلثات ABC وBFC وBCE تشترك في الضلع [BC]. مركز الدائرة المحيطة بكل مثلث منها متساوي البعد عن B وC، لذلك ينتمي إلى واسط [BC]:
  O ∈ médiatrice de [BC]، I ∈ médiatrice de [BC]، J ∈ médiatrice de [BC].
  إذن O وI وJ تنتمي إلى المستقيم نفسه، وبالتالي O وI وJ نقاط مستقيمية.

  Explication détaillée : Le fait central ici est que les trois triangles distincts (ABC, BFC et BCE) partagent le même côté commun [BC]. Les centres O, I et J de leurs cercles circonscrits respectifs doivent donc tous être équidistants des points B et C. Ils appartiennent par conséquent obligatoirement à la médiatrice de ce côté commun [BC]. Appartenant à la même droite géométrique, ces trois centres sont donc parfaitement alignés.

💡 التصحيح — Mon bilan (Explications)

• 1) [B] est constructible.
  لأن 8 < 5 + 5 (الضلع الأكبر BC أصغر من مجموع الضلعين الآخرين).

  Explication : L'inégalité triangulaire est respectée car 8 < 10. C'est un triangle constructible de nature isocèle.

• 2) [A] est non constructible.
  لأن 2,5 + 6,5 = 9 < 9,2.

  Explication : Le plus grand côté (9,2) est strictement supérieur à la somme des deux autres (9). Le compas ne croisera jamais les arcs.

• 3) [B] C appartient à [AB].
  لأن AB = AC + CB، فتقع C بين A وB.

  Explication : L'égalité prouve l'alignement, et la lettre qui se répète dans l'addition (ici C) représente le point qui est situé sur le segment formé par les deux autres.

• 4) [B] (Δ').
  في الشكل، (Δ') هو المستقيم العمودي على [AB] والمار من منتصفه I.

  Explication : La droite (Δ') est clairement perpendiculaire au segment [AB] et passe par son milieu (le point I). C'est la définition exacte de la médiatrice.

• 5) [B] O.
  النقطة O هي تقاطع الواسطين (Δ) و(Δ')، فهي مركز الدائرة المحيطة به.

  Explication : Le centre du cercle circonscrit est toujours matérialisé par le point d'intersection des médiatrices du triangle. Sur la figure, ce point est nommé O.